《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

例 2 (2025·成都诊断)已知点$P$是直线$l:y = - 2$上一个动点，过点$P$作轨迹$E:x^{2}=8y$的两条切线，焦点为$F$，切点分别为$A$，$B$。
求证：(1)直线$AB$过定点；
(2)$\angle PFA=\angle PFB$。

答案： 例2 证明
(1)由$x^2 = 8y$得$y = \frac{1}{8}x^2$，$\therefore y' = \frac{1}{4}x$，设$A(x_1,\frac{1}{8}x_1^2),B(x_2,\frac{1}{8}x_2^2),P(t, - 2)$，其中$x_1 \neq x_2$，则切线$PA$的方程为$y - \frac{1}{8}x_1^2 = \frac{x_1}{4}(x - x_1)$，即$y = \frac{1}{4}x_1x - \frac{1}{8}x_1^2$，同理，切线$PB$的方程为$y = \frac{1}{4}x_2x - \frac{1}{8}x_2^2$，由$\begin{cases} y = \frac{1}{4}x_1x - \frac{1}{8}x_1^2, \\ y = \frac{1}{4}x_2x - \frac{1}{8}x_2^2. \end{cases}$解得$\begin{cases} x = \frac{x_1 + x_2}{2}, \\ y = \frac{x_1x_2}{8}. \end{cases}$即$t = \frac{x_1 + x_2}{2}$，即$\begin{cases} x_1 + x_2 = 2t, \\ x_1x_2 = - 16. \end{cases}$$\therefore$直线$AB$的方程为$y - \frac{1}{8}x_2^2 = \frac{\frac{1}{8}x_1^2 - \frac{1}{8}x_2^2}{x_2 - x_1}(x - x_1)$，化简得$y = \frac{t}{4}x + 2$，故直线$AB$过定点$(0,2)$。
(2)由
(1)知直线$AB$的斜率为$k_{AB} = \frac{t}{4}$，①当直线$PF$的斜率不存在时，直线$AB$的方程为$y = 2$，$\therefore PF \perp AB$，$\therefore \angle PFA = \angle PFB$；②当直线$PF$的斜率存在时，$\because P(t, - 2),F(0,2)$，$\therefore$直线$PF$的斜率$k_{PF} = \frac{- 2 - 2}{t - 0} = - \frac{4}{t}$，$\therefore k_{AB} \cdot k_{PF} = \frac{t}{4} \cdot ( - \frac{4}{t}) = - 1$，$\therefore PF \perp AB$，$\therefore \angle PFA = \angle PFB$。综上所述，$\angle PFA = \angle PFB$得证。

训练 2 (1)过点$M(0,-4)$作圆$C:x^{2}+y^{2}+2x - 6y + 6 = 0$的两条切线，切点分别为$A$，$B$，则直线$AB$的方程为(B)
A.$2x - y + 3 = 0$
B.$x - 7y + 18 = 0$
C.$2x - 5y + 5 = 0$
D.$x + 5y + 5 = 0$

答案：
(1)B [
(1)根据题意，可知圆$x^2 + y^2 + 2x - 6y + 6 = 0$的圆心为$C( - 1,3)$，半径$r = 2$，过点$M(0, - 4)$作圆$x^2 + y^2 + 2x - 6y + 6 = 0$的两条切线，设切点分别为$A,B$，而$|MC| = \sqrt{1^2 + 7^2} = 5\sqrt{2}$，则$|MA| = \sqrt{|MC|^2 - 4} = \sqrt{46}$，则以$M$为圆心，$MA$为半径为圆为$x^2 + (y + 4)^2 = 46$，即圆$x^2 + y^2 + 8y - 30 = 0$，所以$AB$为两圆的公共弦所在的直线，则有$\begin{cases} x^2 + y^2 + 2x - 6y + 6 = 0, \\ x^2 + y^2 + 8y - 30 = 0, \end{cases}$作差变形可得$x - 7y + 18 = 0$；即直线$AB$的方程为$x - 7y + 18 = 0$。

(2)(2025·杭州调研)已知$F$为椭圆$C:\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{2}=1$的右焦点，点$A$是直线$x = 3$上的动点，过点$A$作椭圆$C$的切线$AM$，$AN$，切点分别为$M$，$N$，则$|MF|+|NF|-|MN|$的值为(D)
A.$3$
B.$2$
C.$1$
D.$0$

答案：
(2)D [
(2)由已知可得$F(1,0)$，设$M(x_1,y_1),N(x_2,y_2),A(3,t)$，则切线$AM,AN$的方程分别为$\frac{x_1x}{3} + \frac{y_1y}{2} = 1$，$\frac{x_2x}{3} + \frac{y_2y}{2} = 1$，因为切线$AM,AN$过点$A(3,t)$，所以$x_1 + \frac{t y_1}{2} = 1$，$x_2 + \frac{t y_2}{2} = 1$，所以直线$MN$的方程为$x + \frac{t y}{2} = 1$，因为$F(1,0)$，所以$1 + \frac{t × 0}{2} = 1$，所以点$F(1,0)$在直线$MN$上，所以$M,N,F$三点共线，所以$|MF| + |NF| - |MN| = 0$。

例 3 (1)(2025·南昌质检)如图所示，椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光经过椭圆的另一个焦点。已知曲线$C:x^{2}+4y^{2}=4$的左、右焦点分别为$F_{1}$，$F_{2}$，直线$l$与椭圆$C$相切于点$P$，且$|PF_{1}| = 1$，过点$P$与直线$l$垂直的直线$l'$与椭圆的长轴交于点$M$，则$|F_{1}M|:|F_{2}M|=$(C)


A.$\sqrt{2}:\sqrt{3}$
B.$1:\sqrt{2}$
C.$1:3$
D.$1:\sqrt{3}$

答案：
(1)C [
(1)由题图，由椭圆的定义，$|PF_1| + |PF_2| = 4$，又$|PF_1| = 1$，所以$|PF_2| = 3$，根据椭圆的光学性质，$PM$是$\angle F_1PF_2$的平分线，所以$\frac{|F_1M|}{|F_2M|} = \frac{|PF_1|}{|PF_2|} = \frac{1}{3}$。

(2)(2025·青岛调研)双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，被双曲线反射后，反射光线的反向延长线交于另一个焦点。已知双曲线$C:\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$的左、右焦点分别为$F_{1}$，$F_{2}$，从$F_{2}$发出的光线射向$C$上的点$P(8,y_{0})$后被反射，则入射光线与反射光线的夹角余弦值是________。

答案：

(2)$\frac{11}{14}$ [
(2)如图，$F_1( - 5,0),F_2(5,0)$，将$P(8,y_0)$代入$\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$可得$y_0 = \pm 3\sqrt{3}$，不妨设$P(8,3\sqrt{3})$，则$|PF_1| = \sqrt{( - 5 - 8)^2 + (0 - 3\sqrt{3})^2} = 14$，由双曲线定义，$|PF_1| - |PF_2| = 8$，所以$|PF_2| = |PF_1| - 8 = 6$，显然$|F_1F_2| = 10$，所以$\cos\angle F_1PF_2 = \frac{|PF_1|^2 + |PF_2|^2 - |F_1F_2|^2}{2|PF_1| \cdot |PF_2|} = \frac{11}{14}$，由题意，反射光线所在的直线即为直线$PF_1$，所以入射光线与反射光线的夹角余弦值是$\frac{11}{14}$。

训练 3 (1)(2025·石家庄调研)双曲线有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线，被双曲线反射后，反射光线的反向延长线交于另一个焦点。已知双曲线$C:x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$的左、右焦点分别为$F_{1}$，$F_{2}$，从$F_{2}$发出的光线$F_{2}P$被双曲线反射后，反射光线为$PE$，若双曲线$C$在点$P$处的切线交$x$轴于点$I$，且$|IF_{1}|=\frac{5}{2}$，则$\triangle PF_{1}F_{2}$的周长为12。

答案：

(1)12 [
(1)如图，由双曲线的光学性质可得$PI$是$\angle F_1PF_2$的平分线，所以$\frac{|PF_1|}{|PF_2|} = \frac{|IF_1|}{|IF_2|}$，由题意，$|F_1F_2| = 4$，$|IF_1| = \frac{5}{2}$，所以$|IF_2| = \frac{3}{2}$，从而$\frac{|PF_1|}{|PF_2|} = \frac{|IF_1|}{|IF_2|} = \frac{5}{3}$，又由双曲线定义，$|PF_1| - |PF_2| = 2$，所以$|PF_2| = 3$，$|PF_1| = 5$，从而$\triangle PF_1F_2$的周长为$5 + 3 + 4 = 12$。

(2)抛物线有如下光学性质：从抛物线的焦点$F$发出的光线，经抛物线反射后，得到的是一系列的与抛物线对称轴平行(或重合)的光线。若一条平行于$x$轴的光线从$M(3,1)$射出，经抛物线$y^{2}=4x$上的点$A$反射后，再经抛物线上的另一点$B$反射出，则直线$AB$的斜率为$- \frac{4}{3}$。

答案：

(2)$- \frac{4}{3}$ [
(2)如图，由题意知，$A,F,B$三点共线，由$\begin{cases} y = 1, \\ y^2 = 4x \end{cases}$得$x = \frac{1}{4}$，得$A(\frac{1}{4},1)$，又$F(1,0)$，所以直线$AB$的斜率$k_{AB} = k_{AF} = \frac{1 - 0}{\frac{1}{4} - 1} = - \frac{4}{3}$。