《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

(1)已知 $ f(\sqrt{x} + 1)=x + 2\sqrt{x} $，则 $ f(x) $ 的解析式为$f(x) = x^{2} - 1(x \geq 1)$。

答案：
(1)$f(x) = x^{2} - 1(x \geq 1)$ [
(1)法一(换元法) 令$\sqrt{x} + 1 = t$，
则$x = (t - 1)^{2},t \geq 1$，
所以$f(t) = (t - 1)^{2} + 2(t - 1) = t^{2} - 1(t \geq 1)$，
所以函数$f(x)$的解析式为$f(x) = x^{2} - 1(x \geq 1)$.
法二(配凑法) $f(\sqrt{x} + 1) = x + 2\sqrt{x}= x + 2\sqrt{x} + 1 - 1 = (\sqrt{x} + 1)^{2} - 1$.
因为$\sqrt{x} + 1 \geq 1$，所以函数$f(x)$的解析式为$f(x) = x^{2} - 1(x \geq 1)$.]

(2)已知函数 $ f(x) $ 对任意 $ x $ 满足 $ 3f(x)-f(2 - x)=4x $，则 $ f(x)= $______。

答案：
(2)$x + 1$
[
(2)由题意知$3f(x) - f(2 - x) = 4x$， ①
用$2 - x$代替$x$，
得$3f(2 - x) - f(x) = 8 - 4x$， ②
由①②可得$f(x) = x + 1$.]

例 3 (2025·武汉调研)已知 $ f(x)=\begin{cases}\sqrt{x},0 \leq x \leq 1,\\2f(x - 1),x ＞ 1,\end{cases} $ 则 $ f(\frac{5}{4}) = $ (D)

A.2
B.$\frac{\sqrt{5}}{2}$
C.$\frac{3}{2}$
D.1

答案： 例3 D [函数$f(x) = \begin{cases}\sqrt{x},0 \leq x \leq 1,\\2f(x - 1),x ＞ 1.\end{cases}$
所以$f(\frac{5}{4}) = 2f(\frac{1}{4}) = 2 × \sqrt{\frac{1}{4}} = 1$.]

例 4 (1)已知函数 $ f(x)=\begin{cases}1 - a \cdot 2^x,x \leq 0,\\f(x - 1) - f(x - 2),x ＞ 0,\end{cases} $ 若 $ f(2030)=1 $，则实数 $ a $ 的值为 (D)

A.0
B.1
C.2
D.4

答案： 例4
(1)D [
(1)因为当$x ＞ 0$时，
$f(x) = f(x - 1) - f(x - 2)$，
所以$f(x + 1) = f(x) - f(x - 1)$，
$f(x + 1) = -f(x - 2)$，
即$f(x + 3) = -f(x)$，
$f(x + 6) = -f(x + 3) = f(x)$，
所以$f(2030) = f(338 × 6 + 2) = f(2)$
$= -f(-1) = \frac{a}{2} - 1 = 1$，
则$a = 4$.]

(2)(2025·包头调研)设函数 $ f(x)=\begin{cases}1,x \leq 0,\\3^x,x ＞ 0,\end{cases} $ 则满足 $ f(2x) ＞ f(x + 1) $ 的 $ x $ 的取值范围是(B)

A.$( - 1,0)$
B.$(1,+\infty)$
C.$(0,1)$
D.$( - 1,1)$

答案：

(2)B [
(2)法一 当$x \leq -1$时，$x + 1 \leq 0,2x \leq -2$，
$f(x + 1) = 1,f(2x) = 1$，
则$f(2x) ＞ f(x + 1)$不成立；
当$-1 ＜ x \leq 0$时，$x + 1 ＞ 0,2x \leq 0$，
$f(x + 1) = 3^{x + 1},f(2x) = 1$，
由$f(2x) ＞ f(x + 1)$，得$3^{x + 1} ＜ 1 = 3^{0}$，
则$x ＜ -1$，与$-1 ＜ x \leq 0$矛盾，舍去；
当$x ＞ 0$时，$x + 1 ＞ 1,2x ＞ 0$，$f(x + 1) = 3^{x + 1}$，
$f(2x) = 3^{2x}$，由$f(2x) ＞ f(x + 1)$，得$3^{2x} ＞ 3^{x + 1}$，
则$2x ＞ x + 1$，得$x ＞ 1$.
综上，满足$f(2x) ＞ f(x + 1)$的$x$的取值范围是$(1,+\infty)$.
法二 画出$f(x)$的大致图象，

若$f(2x) ＞ f(x + 1)$，则$2x ＞ 0 ＞ x + 1$或$2x ＞ x + 1 ＞ 0$，解得$x ＞ 1$.]

(1)(2025·连云港模拟)已知函数 $ f(x)=\begin{cases}\log_2x,x ＞ 0,\\2^x,x \leq 0,\end{cases} $ 若 $ f(a)=1 $，则 $ a = $0或2。

答案： 训练3
(1)0或2 [
(1)当$a ＞ 0$时，$\log_{2}a = 1$，解得$a = 2$；
当$a \leq 0$时，$2^{a} = 1$，解得$a = 0$.
所以$a = 0$或$2$.]

(2)若函数 $ f(x)=\begin{cases}x^2 + 1,x \leq 0,\\3,x ＞ 0,\end{cases} $ 则 $ f(f(-1)) = $______，不等式 $ f(x) ＞ 2 $ 的解集是______。

答案：
(2)3 $(-\infty,-1)\cup(0,+\infty)$
[
(2)因为$f(x) = \begin{cases}x^{2} + 1,x \leq 0,\\3,x ＞ 0.\end{cases}$
所以$f(-1) = (-1)^{2} + 1 = 2$，
所以$f(f(-1)) = f(2) = 3$.
当$x \leq 0$时，$f(x) = x^{2} + 1 ＞ 2$，
则$x^{2} ＞ 1$，解得$x ＜ -1$；
当$x ＞ 0$时，$f(x) = 3 ＞ 2$恒成立，所以不等式$f(x) ＞ 2$的解集是$(-\infty,-1)\cup(0,+\infty)$.]