《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

1. 直线与圆锥曲线的位置关系
(1)直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离；相交有两个交点(特殊情况除外)，相切有一个交点，相离无交点.
(2)判断直线 $ l $ 与圆锥曲线 $ C $ 的位置关系时，通常将直线 $ l $ 的方程 $ Ax + By + C = 0 $ 代入圆锥曲线 $ C $ 的方程.消去 $ y $(或 $ x $)得到一个关于变量 $ x $(或 $ y $)的方程 $ ax^{2}+bx + c = 0 $(或 $ ay^{2}+by + c = 0 $).
①当 $ a \neq 0 $ 时，可考虑一元二次方程的判别式 $ \Delta $，有 $ \Delta ＞ 0 $ 时，直线 $ l $ 与曲线 $ C $相交；$ \Delta = 0 $ 时，直线 $ l $ 与曲线 $ C $相切；$ \Delta ＜ 0 $ 时，直线 $ l $ 与曲线 $ C $相离.
②当 $ a = 0 $ 时，即得到一个一次方程，则 $ l $ 与 $ C $ 相交，且只有一个交点，此时，若 $ C $ 为双曲线，则直线 $ l $ 与双曲线的渐近线平行；若 $ C $ 为抛物线，则直线 $ l $ 与抛物线的对称轴平行或重合.

答案： 1.
(1)相交　相切　相离　
(2)①相交　相切　相离　②渐近线　对称轴

2. 圆锥曲线的弦长公式
设直线与圆锥曲线的交点坐标为 $ A(x_{1},y_{1}) $，$ B(x_{2},y_{2}) $，则 $ |AB| = $$\sqrt{1 + k^{2}}\left|x_{1} - x_{2}\right|$$ = $$\sqrt{(1 + k^{2})[(x_{1} + x_{2})^{2} - 4x_{1}x_{2}]}$或 $ |AB| = $$\sqrt{1 + \frac{1}{k^{2}}}\left|y_{1} - y_{2}\right|$$ = $$\sqrt{(1 + \frac{1}{k^{2}})[(y_{1} + y_{2})^{2} - 4y_{1}y_{2}]}$，$ k $ 为直线斜率且 $ k \neq 0 $.

答案： 2.$\sqrt{1 + k^{2}}\left|x_{1} - x_{2}\right|$ $\sqrt{(1 + k^{2})[(x_{1} + x_{2})^{2} - 4x_{1}x_{2}]}$ $\sqrt{1 + \frac{1}{k^{2}}}\left|y_{1} - y_{2}\right|$ $\sqrt{(1 + \frac{1}{k^{2}})[(y_{1} + y_{2})^{2} - 4y_{1}y_{2}]}$

3. 中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解.
(1)利用根与系数的关系：将直线方程代入椭圆的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解，注意不能忽视对判别式的讨论.
(2)点差法：若直线 $ l $ 与椭圆 $ C $ 有两个交点 $ A $，$ B $，一般地，首先设出 $ A(x_{1},y_{1}) $，$ B(x_{2},y_{2}) $，$ AB $ 中点 $ M(x_{0},y_{0}) $，直线 $ AB $ 的斜率 $ k $，将点 $ A $，$ B $ 代入圆锥曲线的方程，两式相减，整理得(分别以 $ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 $，$ \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 $，$ y^{2} = 2px $ 为例)，椭圆中 $ k = -\frac{b^{2}}{a^{2}}\cdot\frac{x_{0}}{y_{0}} $；双曲线中 $ k = $$\frac{b^{2}}{a^{2}} \cdot \frac{x_{0}}{y_{0}}$；抛物线中 $ k = $$\frac{p}{y_{0}}$.

答案： 3.
(2)$\frac{b^{2}}{a^{2}} \cdot \frac{x_{0}}{y_{0}}$，$\frac{p}{y_{0}}$

1. 思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)直线与圆锥曲线的三种位置关系：相离、相切、相交. (√)
(2)直线 $ y = x $ 与椭圆 $ \frac{x^{2}}{2}+y^{2} = 1 $ 一定相交. (√)
(3)“直线 $ l $ 与双曲线 $ C $ 相切”的充要条件是“直线 $ l $ 与双曲线 $ C $ 只有一个公共点”. (×)
(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切. (×)

答案： 1.
(1)√　
(2)√　
(3)×　
(4)× [
(3)当“直线l 与双曲线C只有一个公共点”成立时，则与渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点或者直线l与双曲线相切有一个交点。
(4)直线与抛物线的对称轴平行时也只有一个交点。]

2. (北师大选修一 P83T1 原题)方程 $ y(y - x) = 2 $ 所表示的曲线 (C)

A.关于 $ y $ 轴对称
B.关于直线 $ x + y = 0 $ 对称
C.关于原点对称
D.关于直线 $ x - y = 0 $ 对称

答案： 2.$C$[将$(-x,-y)$代入原方程得$y(y - x)=2$，$C$正确；]

3. (苏教选修一 P124T10 改编)直线 $ y = kx + 2 $ 与椭圆 $ \frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{2} = 1 $ 有且只有一个交点，则 $ k $ 的值是 (C)

A.$ \frac{\sqrt{6}}{3} $
B.$ -\frac{\sqrt{6}}{3} $
C.$ \pm\frac{\sqrt{6}}{3} $
D.$ \pm\frac{\sqrt{3}}{3} $

答案： 3.$C$[由$\begin{cases}y = kx + 2, \\ \frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1\end{cases}$，得$(2 + 3k^{2})x^{2} + 12kx + 6 = 0$，由题意知$\Delta = (12k)^{2} - 4 × 6 × (2 + 3k^{2}) = 0$，解得$k = \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$。]

4. (人教 A 选修一 P114T2 改编)经过椭圆 $ \frac{x^{2}}{2}+y^{2} = 1 $ 的左焦点 $ F_{1} $ 作倾斜角为 $ 60^{\circ} $ 的直线 $ l $，直线 $ l $ 与椭圆相交于 $ A $，$ B $ 两点，则线段 $ AB $ 的长为$\frac{8\sqrt{2}}{7}$.

答案： 4.$\frac{8\sqrt{2}}{7}$ [在$\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$中，$a^{2} = 2$，$b^{2} = 1$，所以$c^{2} = a^{2} - b^{2} = 1$，即$c = 1$，故左焦点为$F_{1}(-1,0)$，而$\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$，故直线$l$为$y = \sqrt{3}(x + 1)$，联立$\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$得，$7x^{2} + 12x + 4 = 0$，设$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，由根与系数的关系得$x_{1} + x_{2} = -\frac{12}{7}$，$x_{1}x_{2} = \frac{4}{7}$。则由弦长公式得$|AB| = \sqrt{1 + (\sqrt{3})^{2}} \cdot \sqrt{(-\frac{12}{7})^{2} - 4 × \frac{4}{7}} = \frac{8\sqrt{2}}{7}$。]