《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

(1)(多选)(2025·郑州模拟)已知点$A(1,0)$，$B(-2,0)$，动点$P$满足$\frac{|PA|}{|PB|} = 2$，则下面结论正确的为(ABD)

A.点$P$的轨迹方程为$(x + 3)^2 + y^2 = 4$
B.点$P$到原点$O$的距离的最大值为5
C.$\triangle PAB$面积的最大值为4
D.$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB}$的最大值为18

答案：
(1)ABD [
(1)设动点$P(x,y)$,则由$\frac{\vert PA\vert}{\vert PB\vert}=2$,得$\frac{\sqrt{(x - 1)^{2}+y^{2}}}{\sqrt{(x + 2)^{2}+y^{2}}}=2$,即$(x - 1)^{2}+y^{2}=4[(x + 2)^{2}+y^{2}]$,化简得 $x^{2}+y^{2}+6x + 5 = 0$,即$(x + 3)^{2}+y^{2}=4$,所以 A 正确。因为点 $P$ 轨迹是圆心为$(-3,0)$,半径为2的圆,则点 $P$ 到原点 $O$ 的距离最大值为$\sqrt{(-3 - 0)^{2}+(0 - 0)^{2}}+2 = 5$,所以 B 正确。又A,B 和点 $P$ 轨迹的圆心都在 $x$ 轴上,且$\vert AB\vert=3$,所以当圆的半径垂直于 $x$ 轴时,$\triangle PAB$ 面积取得最大值$\frac{1}{2}×3×2 = 3$,所以 C 错误。又$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=(1 - x,-y)\cdot(-2 - x,-y)=(1 - x)(-2 - x)+y^{2}=x^{2}+y^{2}+x - 2$,因为 $y^{2}=-x^{2}-6x - 5(-5\leqslant x\leqslant-1)$,所以$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=-5x - 7(-5\leqslant x\leqslant-1)$,则$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}\leqslant-5×(-5)-7 = 18$,所以 D 正确。]

(2)已知点$C$到点$A(-1,0)$，$B(1,0)$的距离之比为$\sqrt{3}$，则点$C$到直线$x - 2y + 8 = 0$的距离的最小值为______。

答案：
(2)$2\sqrt{5}-\sqrt{3}$ [
(2)设 $C(x,y)$,则$\frac{\vert CA\vert}{\vert CB\vert}=\sqrt{3}$,即$\frac{\sqrt{(x + 1)^{2}+y^{2}}}{\sqrt{(x - 1)^{2}+y^{2}}}=\sqrt{3}$,化简得$(x - 2)^{2}+y^{2}=3$,所以点 $C$ 的轨迹是以$(2,0)$为圆心,$r=\sqrt{3}$ 的圆,则圆心到直线 $x - 2y + 8 = 0$ 的距离$d=\frac{\vert2 - 2×0 + 8\vert}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}}=2\sqrt{5}$,所以点 $C$ 到直线 $x - 2y + 8 = 0$ 的距离的最小值为$2\sqrt{5}-\sqrt{3}$。]

训练
已知平面内两定点$A$，$B$间的距离为2，动点$P$满足$\frac{|PA|}{|PB|} = \sqrt{2}$，求$\triangle PAB$面积的最大值。

答案：
训练 解 设以经过点 $A,B$ 的直线为 $x$ 轴,$\overrightarrow{AB}$ 的方向为 $x$ 轴正方向,以线段$AB$ 的垂直平分线为 $y$ 轴,线段 $AB$ 的中点 $O$ 为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则 $A(-1,0),B(1,0)$。
设 $P(x,y)$,$\because\frac{\vert PA\vert}{\vert PB\vert}=\sqrt{2}$,$\therefore\frac{\sqrt{(x + 1)^{2}+y^{2}}}{\sqrt{(x - 1)^{2}+y^{2}}}=\sqrt{2}$,两边平方并整理得 $x^{2}+y^{2}-6x + 1 = 0$,即点 $P$ 的轨迹为$(x - 3)^{2}+y^{2}=8$。要使$\triangle PAB$的面积最大,只需点 $P$ 到 $AB(x$ 轴)的距离最大,此时面积为$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}=2\sqrt{2}$。