《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

例 1 (1)一动圆 $ P $ 与圆 $ A:(x + 1)^2 + y^2 = 1 $ 外切,而与圆 $ B:(x - 1)^2 + y^2 = 64 $ 内切,那么动圆的圆心 $ P $ 的轨迹是 (A)

A.椭圆
B.双曲线
C.抛物线
D.双曲线的一支

答案： 例1
(1)A [
(1)设动圆$P$的半径为$r$，又圆$A:(x + 1)^{2}+y^{2} = 1$的半径为$1$，圆$B:(x - 1)^{2}+y^{2} = 64$的半径为$8$，则$\vert PA\vert = r + 1$，$\vert PB\vert = 8 - r$，可得$\vert PA\vert + \vert PB\vert = 9$，又$9＞2 = \vert AB\vert$，则动圆的圆心$P$的轨迹是以$A,B$为焦点，长轴长为$9$的椭圆.]

(2)(2023·全国甲卷)设 $ F_1,F_2 $ 为椭圆 $ C:\frac{x^2}{5} + y^2 = 1 $ 的两个焦点,点 $ P $ 在 $ C $ 上,若 $ \overrightarrow{PF_1} \cdot \overrightarrow{PF_2} = 0 $,则 $ |PF_1| \cdot |PF_2| = $ (B)

A.1
B.2
C.4
D.5

答案：
(2)B [
(2)因为$\overrightarrow{PF_{1}}\cdot\overrightarrow{PF_{2}} = 0$，所以$PF_{1}\perp PF_{2}$，所以$\vert PF_{1}\vert^{2}+\vert PF_{2}\vert^{2} = \vert F_{1}F_{2}\vert^{2} = (2c)^{2} = 16$.因为$\vert PF_{1}\vert + \vert PF_{2}\vert = 2a = 2\sqrt{5}$，所以$(\vert PF_{1}\vert + \vert PF_{2}\vert)^{2} = 20$，即$\vert PF_{1}\vert^{2}+\vert PF_{2}\vert^{2}+2\vert PF_{1}\vert\cdot\vert PF_{2}\vert = 20$，所以$\vert PF_{1}\vert\cdot\vert PF_{2}\vert = 2$.]

(3)已知 $ F_1 $ 是椭圆 $ 5x^2 + 9y^2 = 45 $ 的左焦点, $ P $ 是椭圆上的动点, $ A(1,1) $,则 $ |PA| + |PF_1| $ 的最大值为____,最小值为____.

答案：
(3)$6+\sqrt{2}$ $6-\sqrt{2}$ [
(3)椭圆方程可化为$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5} = 1$.设$F_{2}$是椭圆的右焦点，则$F_{2}(2,0)$，连接$AF_{2}$，$PF_{2}$(图略)，$\therefore\vert AF_{2}\vert = \sqrt{2}$，易知$\vert PA\vert + \vert PF_{1}\vert = \vert PA\vert - \vert PF_{2}\vert + 6$.又$-\vert AF_{2}\vert\leq\vert PA\vert - \vert PF_{2}\vert\leq\vert AF_{2}\vert$（当$P,A,F_{2}$三点共线时等号成立），$\therefore6 - \sqrt{2}\leq\vert PA\vert + \vert PF_{1}\vert\leq6 + \sqrt{2}$. $\therefore\vert PA\vert + \vert PF_{1}\vert$的最大值为$6 + \sqrt{2}$，最小值为$6 - \sqrt{2}$.]

(1)(2025·丽水调研)已知点 $ P $ 是椭圆 $ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 $ 上一点,椭圆的左、右焦点分别为 $ F_1,F_2 $,且 $ \cos \angle F_1PF_2 = \frac{1}{3} $,则 $ \triangle PF_1F_2 $ 的面积为 (C)

A.6
B.12
C.$ \frac{9\sqrt{2}}{2} $
D.$ 2\sqrt{2} $

答案：
训练1
(1)C [
(1)由椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9} = 1$，得$a = 5$，$b = 3$，$c = 4$.设$\vert PF_{1}\vert = m$，$\vert PF_{2}\vert = n$，$\therefore m + n = 10$，在$\triangle PF_{1}F_{2}$中，由余弦定理可得$(2c)^{2} = m^{2}+n^{2}-2mn\cdot\cos\angle F_{1}PF_{2} = (m + n)^{2}-2mn - 2mn\cdot\frac{1}{3}$，可得$64 = 100 - \frac{8}{3}mn$，得$mn = \frac{27}{2}$.故$S_{\triangle F_{1}PF_{2}} = \frac{1}{2}mn\cdot\sin\angle F_{1}PF_{2} = \frac{1}{2}×\frac{27}{2}×\sqrt{1 - (\frac{1}{3})^{2}} = \frac{9\sqrt{2}}{2}$. ]

(2)(2025·许昌调研)若 $ F $ 为椭圆 $ C:\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1 $ 的右焦点, $ A,B $ 为 $ C $ 上两动点,则 $ \triangle ABF $ 周长的最大值为20.

答案：

(2)20 [
(2)如图，设$F_{1}$为椭圆$C$的左焦点，则由椭圆的定义可得$\triangle ABF$的周长为$\vert AF\vert + \vert BF\vert + \vert AB\vert = 2a - \vert AF_{1}\vert + 2a - \vert BF_{1}\vert + \vert AB\vert = 4a + \vert AB\vert - \vert AF_{1}\vert - \vert BF_{1}\vert$，当$A,B,F_{1}$共线时，$\vert AB\vert - \vert AF_{1}\vert - \vert BF_{1}\vert = 0$，当$A,B,F_{1}$不共线时，$\vert AB\vert - \vert AF_{1}\vert - \vert BF_{1}\vert＜0$，所以$\triangle ABF$周长的最大值为$20$. ]

考点二 椭圆的标准方程
例 2 (1)(2025·大连模拟)方程 $ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{m} = 1 $ 表示椭圆,则实数 $ m $ 的取值范围是 (D)

A.$ m ＞ 0 $
B.$ m ＞ 4 $
C.$ 0 ＜ m ＜ 4 $
D.$ m ＞ 0 $ 且 $ m \neq 4 $

答案： 例2
(1)D [
(1)当$m＞4$时，方程表示焦点在$y$轴上的椭圆；当$0＜m＜4$时，方程表示焦点在$x$轴上的椭圆，所以$m$的取值范围是$m＞0$且$m\neq4$.]

(2)已知 $ \triangle ABC $ 的周长为 12, $ B(0,-2),C(0,2) $,则顶点 $ A $ 的轨迹方程为 (A)

A.$ \frac{x^2}{12} + \frac{y^2}{16} = 1(x \neq 0) $
B.$ \frac{x^2}{12} + \frac{y^2}{16} = 1(y \neq 0) $
C.$ \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{12} = 1(x \neq 0) $
D.$ \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{12} = 1(y \neq 0) $

答案：
(2)A [
(2)$\because\triangle ABC$的周长为$12$，顶点$B(0,-2)$，$C(0,2)$，$\therefore\vert BC\vert = 4$，$\vert AB\vert + \vert AC\vert = 12 - 4 = 8$，$\therefore$点$A$到两个定点的距离之和等于定值，又$8＞4$，$\therefore$点$A$的轨迹是椭圆，且$a = 4$，$c = 2$，$\therefore b^{2} = 12$，$\therefore$椭圆的方程为$\frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{16} = 1(x\neq0)$.]

(3)与椭圆 $ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1 $ 有相同离心率,且经过点 $ (2,-\sqrt{3}) $ 的椭圆标准方程为____.

答案：
(3)$\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{6} = 1$或$\frac{y^{2}}{\frac{25}{3}}+\frac{x^{2}}{\frac{25}{4}} = 1$ [
(3)椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3} = 1$的离心率是$e = \frac{1}{2}$，当焦点在$x$轴上时，设所求椭圆的方程是$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a＞b＞0)$，$\begin{cases}\frac{c}{a} = \frac{1}{2},\\a^{2} = b^{2}+c^{2},\end{cases}$解得$\begin{cases}a^{2} = 8,\\b^{2} = 6,\end{cases}$所以所求椭圆方程为$\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{6} = 1$.当焦点在$y$轴上时，设所求椭圆的方程为$\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}} = 1(a＞b＞0)$，$\begin{cases}\frac{c}{a} = \frac{1}{2},\\a^{2} = b^{2}+c^{2},\end{cases}$解得$a^{2} = \frac{25}{3}$，$b^{2} = \frac{25}{4}$，所以椭圆的标准方程为$\frac{y^{2}}{\frac{25}{3}}+\frac{x^{2}}{\frac{25}{4}} = 1$.综上，所求椭圆标准方程为$\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{6} = 1$或$\frac{y^{2}}{\frac{25}{3}}+\frac{x^{2}}{\frac{25}{4}} = 1$.]