《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

1. 两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式 $ C_{(\alpha - \beta)} $：
$ \cos(\alpha - \beta) = $$\cos \alpha\cos \beta+\sin \alpha\sin \beta$；
(2)公式 $ C_{(\alpha + \beta)} $：
$ \cos(\alpha + \beta) = $$\cos \alpha\cos \beta-\sin \alpha\sin \beta$；
(3)公式 $ S_{(\alpha - \beta)} $：
$ \sin(\alpha - \beta) = $$\sin \alpha\cos \beta-\cos \alpha\sin \beta$；
(4)公式 $ S_{(\alpha + \beta)} $：
$ \sin(\alpha + \beta) = $$\sin \alpha\cos \beta+\cos \alpha\sin \beta$；
(5)公式 $ T_{(\alpha - \beta)} $：$ \tan(\alpha - \beta) = $$\frac{\tan \alpha-\tan \beta}{1+\tan \alpha\tan \beta}$；
(6)公式 $ T_{(\alpha + \beta)} $：$ \tan(\alpha + \beta) = $$\frac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha\tan \beta}$.

答案： 1.
(1)$\cos \alpha\cos \beta+\sin \alpha\sin \beta$
(2)$\cos \alpha\cos \beta-\sin \alpha\sin \beta$
(3)$\sin \alpha\cos \beta-\cos \alpha\sin \beta$
(4)$\sin \alpha\cos \beta+\cos \alpha\sin \beta$
(5)$\frac{\tan \alpha-\tan \beta}{1+\tan \alpha\tan \beta}$
(6)$\frac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha\tan \beta}$

2. 辅助角公式
$ a\sin \alpha + b\cos \alpha = $$\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin(\alpha+\varphi)$，其中 $ \sin \varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} $，$ \cos \varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} $.

答案： 2.$\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin(\alpha+\varphi)$

3. 二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式 $ S_{2\alpha} $：$ \sin 2\alpha = $$2\sin \alpha\cos \alpha$.
(2)公式 $ C_{2\alpha} $：$ \cos 2\alpha = $$\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha$ = $2\cos^{2}\alpha-1$ = $1-2\sin^{2}\alpha$.
(3)公式 $ T_{2\alpha} $：$ \tan 2\alpha = $$\frac{2\tan \alpha}{1-\tan^{2}\alpha}$.

答案： 3.
(1)$2\sin \alpha\cos \alpha$
(2)$\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha$$2\cos^{2}\alpha-1$$1-2\sin^{2}\alpha$
(3)$\frac{2\tan \alpha}{1-\tan^{2}\alpha}$

1. 思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 $ \alpha $，$ \beta $ 是任意的. (√)
(2)存在实数 $ \alpha $，$ \beta $，使等式 $ \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha + \sin \beta $ 成立. (√)
(3)存在实数 $ \alpha $，使 $ \tan 2\alpha = 2\tan \alpha $. (√)
(4)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求得来的. (√)

答案： 1.
(1)√
(2)√
(3)√
(4)√

2. (人教 A 必修一 P223T2 改编)已知 $ \sin(\alpha - \pi) = \frac{3}{5} $，则 $ \cos 2\alpha = $$\frac{7}{25}$.

答案： 2.$\frac{7}{25}$[$\sin(\alpha-\pi)=-\sin\alpha=\frac{3}{5}$,故$\sin\alpha=-\frac{3}{5}$,所以$\cos2\alpha=1-2\sin^{2}\alpha$$=1-2×(-\frac{3}{5})^{2}=\frac{7}{25}$.]

3. (苏教必修二 P55 例 2 改编)求值 $ \cos 15° = $$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$.

答案： 3.$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$[$\cos15^{\circ}=\cos(60^{\circ}-45^{\circ})$$=\cos60^{\circ}\cos45^{\circ}+\sin60^{\circ}\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$.]

4. (北师大必修二 P156 例 4 改编)已知 $ \tan \alpha = 2 $，$ \tan \beta = -\frac{1}{3} $，则 $ \tan(\alpha - \beta) = $7.

答案： 4.7[$\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$$=\frac{2-(-\frac{1}{3})}{1+2×(-\frac{1}{3})}=7$.]