《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

考点一 直线与圆锥曲线的位置关系
例 1 已知直线 $ l:y = 2x + m $，椭圆 $ C:\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2} = 1 $.试问当 $ m $ 取何值时，直线 $ l $ 与椭圆 $ C $：
(1)有两个不同的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点.

答案： 例1
(1)当$-3\sqrt{2} ＜ m ＜ 3\sqrt{2}$时，直线$l$与椭圆$C$有两个不同的公共点；
(2)当$m = \pm 3\sqrt{2}$时，直线$l$与椭圆$C$有且只有一个公共点；
(3)当$m ＜ -3\sqrt{2}$或$m ＞ 3\sqrt{2}$时，直线$l$与椭圆$C$没有公共点。

训练 1 (1)(2025·南京调研)已知抛物线 $ C:y^{2} = 4x $，经过点 $ P $ 的任意一条直线与 $ C $ 均有公共点，则点 $ P $ 的坐标可以为 ()
A.$ (0,1) $
B.$ (1,-3) $
C.$ (3,4) $
D.$ (2,-2) $

答案： 训练1
(1)$D$
点$(2,-2)$在抛物线内部，经过点$P$的任意一条直线与$C$均相交，均有公共点。

(2)(2024·北京卷)若直线 $ y = k(x - 3) $ 与双曲线 $ \frac{x^{2}}{4}-y^{2} = 1 $ 只有一个公共点，则 $ k $ 的一个取值为.

答案：
(2)$\frac{1}{2}$(或$-\frac{1}{2}$，答案不唯一)
直线与双曲线的渐近线平行，所以$k = \pm \frac{1}{2}$。

考点二 弦的有关问题
角度 1 焦点弦
例 2 (2025·开封质检)已知椭圆 $ C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a ＞ b ＞ 0) $ 的左、右焦点分别为 $ F_{1} $，$ F_{2} $，上顶点为 $ A $，且 $ \overrightarrow{AF_{1}}\cdot\overrightarrow{AF_{2}} = 0 $.
(1)求 $ C $ 的离心率；
(2)射线 $ AF_{1} $ 与 $ C $ 交于点 $ B $，且 $ |AB| = \frac{8}{3} $，求 $ \triangle ABF_{2} $ 的周长.

答案： 例2
(1)椭圆$C$的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
(2)$\triangle ABF_{2}$的周长为$8$。

角度 2 中点弦
例 3 (1)(2023·全国乙卷)设 $ A $，$ B $ 为双曲线 $ x^{2}-\frac{y^{2}}{9} = 1 $ 上两点，下列四个点中，可为线段 $ AB $ 中点的是 ()

A.$ (1,1) $
B.$ (-1,2) $
C.$ (1,3) $
D.$ (-1,-4) $

答案： 例3
(1)$D$

(2)已知 $ P(1,1) $ 为椭圆 $ \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2} = 1 $ 内一定点，经过 $ P $ 引一条弦，使此弦被 $ P $ 点平分，则此弦所在的直线方程为.

答案： $x + 2y - 3 = 0$