《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

1. 思考辨析 (在括号内打 “√” 或 “×”)
(1) $ f'(x_0) $ 是函数 $ y = f(x) $ 在 $ x = x_0 $ 附近的瞬时变化率. (√)
(2) 函数 $ f(x) = \sin(-x) $ 的导数 $ f'(x) = \cos x $. (×)
(3) 求 $ f'(x_0) $ 时, 可先求 $ f(x_0) $, 再求 $ f'(x_0) $. (×)
(4) 与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线. (×)

答案： 1.
(1)√
(2)×
(3)×
(4)× [
(2)$f(x)=\sin(-x)=-\sin x$,则$f'(x)=-\cos x$,错误.
(3)求$f'(x_{0})$时,应先求$f'(x)$,再代入求值,错误.
(4)函数$y = x^{2}$与$x = 0$这条直线只有一个公共点,但它们相交,错误.]

2. (人教 B 选修三 P87 例 3 改编) (多选) 下列导数运算中正确的是 (ABC)

A.$ (\mathrm{e}^{5x - 1})' = 5\mathrm{e}^{5x - 1} $
B.$ (\ln(2x + 1))' = \frac{2}{2x + 1} $
C.$ (\sqrt{2x - 1})' = \frac{1}{\sqrt{2x - 1}} $
D.$ \left( \sin\left(2x + \frac{\pi}{3} \right) \right)' = -2\cos\left(2x + \frac{\pi}{3} \right) $

答案： 2.ABC [选项D中,$(\sin(2x+\frac{\pi}{3}))'=2\cos(2x+\frac{\pi}{3})$.]

3. (人教 A 选修二 P81T6 改编) 已知函数 $ f(x) $ 满足 $ f(x) =$$1 - \sqrt{2}$$f'\left( \frac{\pi}{4} \right) \cos x - \sin x $, 则 $ f'\left( \frac{\pi}{4} \right) = $ $$。

答案： 3.$1 - \sqrt{2}$ $[f(x)=-f'(\frac{\pi}{4})\sin x - \cos x$,令$x = \frac{\pi}{4}$,得$f'(\frac{\pi}{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}f'(\frac{\pi}{4})-\frac{\sqrt{2}}{2}$解得$f'(\frac{\pi}{4})=1 - \sqrt{2}$.]

4. (人教 A 选修二 P82T11 改编) 已知曲线 $ y = x\mathrm{e}^x $ 在点 $ (1, \mathrm{e}) $ 处的切线与曲线 $ y = a\ln x + 2 $ 在点 $ (1, 2) $ 处的切线平行, 则 $ a =$2e$$ $$。

答案： 4.2e [由$y = xe^{x}$,得$y' = e^{x}(x + 1)$,所以该曲线在点$(1,e)$处的切线斜率为$2e$,由$y = a\ln x + 2$,得$y' = \frac{a}{x}$,所以该曲线在点$(1,2)$处切线斜率为$a$.因为两切线平行,所以$a = 2e$]

考点一 导数的概念
例 1 已知 $ f(x) $ 在 $ x_0 $ 处的导数 $ f'(x_0) = k $, 求下列各式的值:
(1) $ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0) - f(x_0 - \Delta x)}{2\Delta x} $；
(2) $ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0 - \Delta x)}{\Delta x} $。

答案： 例1 解
(1)$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_{0}) - f(x_{0} - \Delta x)}{x_{0} - (x_{0} - \Delta x)}=f'(x_{0})$,即$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_{0}) - f(x_{0} - \Delta x)}{\Delta x}=f'(x_{0}) = k$,$\therefore \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_{0}) - f(x_{0} - \Delta x)}{2\Delta x}=\frac{k}{2}$.
(2)$\because \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0} - \Delta x)}{2\Delta x}=k$,$\therefore \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0} - \Delta x)}{\Delta x}=2k$.

(1) $ \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x + 2h) - \sin x}{h} = $ (B)

A.0
B.$ 2\cos x $
C.$ \cos 2x $
D.$ 2\cos 2x $

答案： 训练1
(1)B [
(1)$\lim_{h \to 0} \frac{\sin(x + 2h) - \sin x}{h}=2\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h}=2\cos x$.]

(2) 若 $ f'(x) $ 是函数 $ f(x) $ 的导数, 且 $ f'(a) = -1 $, 则 $ \lim_{x \to a} \frac{f(3x - 2a) - f(3a - 2x)}{x - a} = $ (A)


A.-5
B.-4
C.-1
D.0

答案：
(2)A [
(2)$\lim_{x \to a} \frac{f(3x - 2a) - f(3a - 2x)}{x - a}=5\lim_{x \to a} \frac{f(3x - 2a) - f(3a - 2x)}{(3x - 2a) - (3a - 2x)}=5f'(a)= - 5$.]