《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

考点一 数量积的计算
例1 (1)(2025·北京延庆区模拟)已知正方形$ABCD$的边长为$2$，点$P$满足$\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD})$，则$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AC}=$ (C)

A.$4$
B.$5$
C.$6$
D.$8$

答案：
例1
(1)C [
(1)以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，正方形ABCD的边长为2，

则A(0,0)，C(2,2)，D(0,2)，可得$\overrightarrow{AC}$ = (2,2)，$\overrightarrow{AD}$ = (0,2)，点P满足$\overrightarrow{AP}$ = $\frac{1}{2}$($\overrightarrow{AC}$ + $\overrightarrow{AD}$) = (1,2)，所以$\overrightarrow{AP}$.$\overrightarrow{AC}$ = 1×2 + 2×2 = 6.

(2)(2025·武汉质检)如图，$B$，$D$是以$AC$为直径的圆上的两点，其中$AB=\sqrt{t+1}$，$AD=\sqrt{t+2}$，则$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=$ (A)


A.$1$
B.$2$
C.$t$
D.$2t$

答案：

(2)A [
(2)如图所示，连接BC，CD，则AD⊥CD，AB⊥BC.

所以$\overrightarrow{AB}$.$\overrightarrow{AC}$ = |$\overrightarrow{AB}$|.|$\overrightarrow{AC}$|.cos∠BAC = |$\overrightarrow{AB}$|.(|$\overrightarrow{AC}$|.cos∠BAC) = |$\overrightarrow{AB}$|² = t + 1.
$\overrightarrow{AD}$.$\overrightarrow{AC}$ = |$\overrightarrow{AD}$|.|$\overrightarrow{AC}$|cos∠CAD = |$\overrightarrow{AD}$|.(|$\overrightarrow{AC}$|.cos∠CAD) = |$\overrightarrow{AD}$|² = t + 2.
因为$\overrightarrow{BD}$ = $\overrightarrow{AD}$ - $\overrightarrow{AB}$，所以$\overrightarrow{AC}$.$\overrightarrow{BD}$ = $\overrightarrow{AC}$.$(\overrightarrow{AD}$ - $\overrightarrow{AB}$) = $\overrightarrow{AC}$.$\overrightarrow{AD}$ - $\overrightarrow{AC}$.$\overrightarrow{AB}$ = t + 2 - (t + 1) = 1.]

(1)(2025·1月八省联考)已知向量$\boldsymbol{a}=(0,1)$，$\boldsymbol{b}=(1,0)$，则$\boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=$ (B)

A.$2$
B.$1$
C.$0$
D.$-1$

答案： 训练1
(1)B [
(1)由已知得，$\vec{a}$.$(\vec{a}$ - $\vec{b}$) = (0,1).(-1,1) = 1.

(2)(2025·泉州调研)已知正方形$ABCD$的边长为$2$，若$\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{PC}$，则$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BD}=$ (B)

A.$2$
B.$-2$
C.$4$
D.$-4$

答案：

(2)B [
(2)以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则B(2,0)，D(0,2)，C(2,2)，

由$\overrightarrow{BP}$ = $\overrightarrow{PC}$可得P为BC的中点，所以P(2,1)，则$\overrightarrow{AP}$ = (2,1)，又$\overrightarrow{BD}$ = (-2,2)，所以$\overrightarrow{AP}$.$\overrightarrow{BD}$ = 2×(-2) + 1×2 = -2.

(3)(2025·宁波调研)已知$\triangle ABC$的外接圆圆心为$O$，$\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$，$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{AB}|$，则$\overrightarrow{AC}$在$\overrightarrow{BC}$上的投影向量为 (D)

A.$-\frac{\sqrt{3}}{4}\overrightarrow{BC}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{4}\overrightarrow{BC}$
C.$-\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}$
D.$\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}$

答案：

(3)D [
(3)因为$\overrightarrow{AO}$ = $\frac{1}{2}$($\overrightarrow{AB}$ + $\overrightarrow{AC}$)，所以△ABC外接圆圆心O为BC的中点，即BC为外接圆的直径，如图，

又|$\overrightarrow{AB}$| = |$\overrightarrow{OA}$|，所以△ABO为等边三角形，则∠ACB = 30°，故|$\overrightarrow{AC}$| = |$\overrightarrow{BC}$|cos30°，所以向量$\overrightarrow{AC}$在向量$\overrightarrow{BC}$上的投影向量为|$\overrightarrow{AC}$|cos30°.$\frac{\overrightarrow{BC}}{\vert\overrightarrow{BC}\vert}$ = |$\overrightarrow{BC}$|.$\frac{\overrightarrow{BC}}{\vert\overrightarrow{BC}\vert}$ = $\frac{3}{4}$$\overrightarrow{BC}$.]

考点二 数量积的应用
角度1 夹角与垂直
例2 (1)(2024·新高考Ⅰ卷)已知向量$\boldsymbol{a}=(0,1)$，$\boldsymbol{b}=(2,x)$，若$\boldsymbol{b}\perp(\boldsymbol{b}-4\boldsymbol{a})$，则$x=$ (D)

A.$-2$
B.$-1$
C.$1$
D.$2$

答案： 例2
(1)D [
(1)法一 因为$\vec{b}$⊥($\vec{b}$ - 4$\vec{a}$)，所以$\vec{b}$.$(\vec{b}$ - 4$\vec{a}$) = 0，即$\vec{b}$² = 4$\vec{a}$.$\vec{b}$.因为$\vec{a}$ = (0,1)，$\vec{b}$ = (2,x)，所以$\vec{b}$² = 4 + x²，$\vec{a}$.$\vec{b}$ = x，得4 + x² = 4x，所以(x - 2)² = 0，解得x = 2，故选D.
法二 因为$\vec{a}$ = (0,1)，$\vec{b}$ = (2,x)，所以$\vec{b}$ - 4$\vec{a}$ = (2,x) - 4(0,1) = (2,x) - (0,4) = (2,x - 4).因为$\vec{b}$⊥($\vec{b}$ - 4$\vec{a}$)，所以$\vec{b}$.$(\vec{b}$ - 4$\vec{a}$) = 0，所以2×2 + x(x - 4) = 0，所以(x - 2)² = 0，解得x = 2，故选D.

(2)(2023·全国甲卷)已知向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$满足$|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|=1$，$|\boldsymbol{c}|=\sqrt{2}$，且$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}=\boldsymbol{0}$，则$\cos\langle\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c},\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}\rangle=$ ()

A.$-\frac{4}{5}$
B.$-\frac{2}{5}$
C.$\frac{2}{5}$
D.$\frac{4}{5}$、

答案：

(2)D [
(2)因为向量|$\vec{a}$| = |$\vec{b}$| = 1，|$\vec{c}$| = $\sqrt{2}$，且$\vec{a}$ + $\vec{b}$ + $\vec{c}$ = 0，所以$\vec{c}$ = -$\vec{a}$ - $\vec{b}$，等式两边同时平方得$\vec{c}$² = $\vec{a}$² + $\vec{b}$² + 2$\vec{a}$.$\vec{b}$，即2 = 1 + 1 + 2$\vec{a}$.$\vec{b}$，解得$\vec{a}$.$\vec{b}$ = 0.
法一 $\vec{a}$ - $\vec{c}$ = $\vec{a}$ - (-$\vec{a}$ - $\vec{b}$) = 2$\vec{a}$ + $\vec{b}$，$\vec{b}$ - $\vec{c}$ = $\vec{b}$ - (-$\vec{a}$ - $\vec{b}$) = $\vec{a}$ + 2$\vec{b}$，所以($\vec{a}$ - $\vec{c}$).($\vec{b}$ - $\vec{c}$) = (2$\vec{a}$ + $\vec{b}$).($\vec{a}$ + 2$\vec{b}$) = 2$\vec{a}$² + 5$\vec{a}$.$\vec{b}$ + 2$\vec{b}$² = 4，且|$\vec{a}$ - $\vec{c}$| = |2$\vec{a}$ + $\vec{b}$| = $\sqrt{(2\vec{a}+\vec{b})^2}$ = $\sqrt{4 + 1}$ = $\sqrt{5}$，|$\vec{b}$ - $\vec{c}$| = |$\vec{a}$ + 2$\vec{b}$| = $\sqrt{(\vec{a}+2\vec{b})^2}$ = $\sqrt{1 + 4}$ = $\sqrt{5}$，所以cos〈$\vec{a}$ - $\vec{c}$，$\vec{b}$ - $\vec{c}$〉 = $\frac{(\vec{a}-\vec{c})\cdot(\vec{b}-\vec{c})}{\vert\vec{a}-\vec{c}\vert\cdot\vert\vec{b}-\vec{c}\vert}$ = $\frac{4}{5}$.
法二 如图，令向量$\vec{a}$，$\vec{b}$的起点均为O，终点分别为A，B，以$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$分别为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，

则$\vec{a}$ = (1,0)，$\vec{b}$ = (0,1)，$\vec{c}$ = -$\vec{a}$ - $\vec{b}$ = (-1,-1)，所以$\vec{a}$ - $\vec{c}$ = (2,1)，$\vec{b}$ - $\vec{c}$ = (1,2)，则cos〈$\vec{a}$ - $\vec{c}$，$\vec{b}$ - $\vec{c}$〉 = $\frac{(\vec{a}-\vec{c})\cdot(\vec{b}-\vec{c})}{\vert\vec{a}-\vec{c}\vert\cdot\vert\vec{b}-\vec{c}\vert}$ = $\frac{2 + 2}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}$ = $\frac{4}{5}$

角度2 平面向量的模
例3 (2024·新高考Ⅱ卷)已知向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$满足$|\boldsymbol{a}|=1$，$|\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}|=2$，且$(\boldsymbol{b}-2\boldsymbol{a})\perp\boldsymbol{b}$，则$|\boldsymbol{b}|=$ (B)

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$1$

答案： 例3 B [由($\vec{b}$ - 2$\vec{a}$)⊥$\vec{b}$，得($\vec{b}$ - 2$\vec{a}$).$\vec{b}$ = $\vec{b}$² - 2$\vec{a}$.$\vec{b}$ = 0，所以$\vec{b}$² = 2$\vec{a}$.$\vec{b}$.将|$\vec{a}$ + 2$\vec{b}$| = 2的两边同时平方，得$\vec{a}$² + 4$\vec{a}$.$\vec{b}$ + 4$\vec{b}$² = 4，即1 + 2$\vec{b}$² + 4$\vec{b}$² = 1 + 6|$\vec{b}$|² = 4，解得|$\vec{b}$|² = $\frac{1}{2}$，所以|$\vec{b}$| = $\frac{\sqrt{2}}{2}$，故选B.]