《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

(1) 若$a = \frac{\ln 3}{3}$，$b = \frac{\ln 4}{4}$，$c = \frac{\ln 5}{5}$，则(B)

A.$a ＜ b ＜ c$
B.$c ＜ b ＜ a$
C.$c ＜ a ＜ b$
D.$b ＜ a ＜ c$

答案： 训练1
(1)B [
(1)法一 易知a,b,c都是正数$,\frac{b}{a}=\frac{3\ln4}{4\ln3}=\log_{81}64$＜1,所以a＞$b;\frac{b}{c}=\frac{5\ln4}{4\ln5}=\log_{625}1024＞1,$所以b＞c即c＜b＜a.法二 构造函数f(x)=\frac{\lnx}{x},则f'(x)=\frac{1-\lnx}{x^2},由f'(x)＞0,得0＜x＜e;由f'(x)＜0,得x＞e.f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,
∴f
(3)＞f
(4)＞f
(5),即a＞b＞c.]

(2) (2025·上海调研)如果$x ＜ 0, 0 ＜ y ＜ 1$，那么$\frac{y^2}{x}, \frac{y}{x}, \frac{1}{x}$的大小关系是______.

答案： 训练1
(2)$\frac{y^2}{x}＞\frac{y}{x}＞\frac{1}{x}$ [
(2)法一 因为三个式子的值很明显都是负数,且\frac{y^2}{x}÷\frac{y}{x}=y∈(0,1),所以\frac{y^2}{x}＜\frac{y}{x};\frac{y}{x}÷\frac{1}{x}=y∈(0,1),所以\frac{y}{x}＜\frac{1}{x}.综上,\frac{1}{x}＜\frac{y}{x}＜\frac{y^2}{x}.法二 因为\frac{y^2}{x}÷\frac{y}{x}=\frac{y(y-1)}{x},所以\frac{y^2}{x}＜\frac{y}{x};因为\frac{y}{x}÷\frac{1}{x}=\frac{y-1}{x}＞0,所以\frac{y}{x}＞\frac{1}{x},所以\frac{y^2}{x}＜\frac{y}{x}＜\frac{1}{x}.]

例 2 (1) 若实数$a, b$满足$a ＜ b ＜ 0$，则(B)

A.$a + b ＞ 0$
B.$a - b ＜ 0$
C.$|a| ＜ |b|$
D.$\left|\frac{1}{a}\right| ＞ \left|\frac{1}{b}\right|$

答案： 例2
(1)B [
(1)由a＜b＜0,可得a+b＜0,故A错误;由a＜b＜0,可得a-b＜0,故B正确;由a＜b＜0,可得-a＞-b＞0,所以|a|＞|b|,故C错误;由a＜b＜0,可得|a|＞|b|＞0,所以$\frac{1}{|a|}＜\frac{1}{|b|},$故D错误.]

(2)(多选)已知$a, b, c$为实数，则下列说法正确的是(BCD)

A.若$a ＞ b$，则$ac^2 ＞ bc^2$
B.若$a ＞ b$，则$a + c ＞ b + c$
C.若$a ＞ b ＞ c ＞ 0$，则$\frac{a}{b} ＞ \frac{a + c}{b + c}$
D.若$a ＞ b ＞ c ＞ 0$，则$\frac{b}{a - b} ＞ \frac{c}{a - c}$

答案： 例2
(2)BCD [
(2)当c=0时,ac²=bc²,故A错误;由不等式的可加性可知,B正确;若a＞b＞c＞0,则$a-b＞0,b+c＞0,\frac{a}{b}-\frac{a+c}{b+c}=\frac{a(b+c)-b(a+c)}{b(b+c)}=\frac{c(a-b)}{b(b+c)}＞0,$
∴$\frac{a}{b}＞\frac{a+c}{b+c},$故C正确;若a＞b＞c＞0,则a-b＞0,a-c＞0,b-c＞0,且a-c＞a-b,
∴$\frac{1}{a-b}＞\frac{1}{a-c}＞0,$又b＞c＞0,由可乘性知$,\frac{b}{a-b}＞\frac{c}{a-c},$故D正确.]

(1) 设$a, b, c, d$为实数，且$c ＜ d$，则“$a ＜ b$”是“$a - c ＜ b - d$”的(B)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 训练2
(1)B [
(1)由a＜b不能推出a-c＜b-d,如a=2,b=3,c=0,d=1,满足a＜b,但是a-c=b-d,故充分性不成立;当a-c＜b-d时,又c＜d,可得a-c+c＜b-d+d,即a＜b,故必要性成立,所以“a＜b”是“a-c＜b-d”的必要不充分条件.]

(2)(多选)若$\frac{1}{a} ＜ \frac{1}{b} ＜ 0$，则下列不等式正确的是(AC)

A.$\frac{1}{a + b} ＜ \frac{1}{ab}$
B.$|a| + b ＞ 0$
C.$a - \frac{1}{a} ＞ b - \frac{1}{b}$
D.$\ln a^2 ＞ \ln b^2$

答案： 训练2
(2)AC [
(2)由$\frac{1}{a}$＜\frac{1}{b}＜0,可知b＜a＜0.A中,因为a+b＜0,ab＞0,所以$\frac{1}{a+b}$＜0,\frac{1}{ab}＞0,则$\frac{1}{a+b}$＜\frac{1}{ab},故A正确;B中,因为b＜a＜0,所以-b＞-a＞0,故-b＞|a|,即|a|+b＜0,故B错误;C中,因为b＜a＜0,又\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}＜0,则-\frac{1}{a}＞$-\frac{1}{b}＞0,$所以$a-\frac{1}{a}＞b-\frac{1}{b},$故C正确;D中,因为b＜a＜0,根据y=x²在(-∞,0)上单调递减,可得b²＞a²＞0,而y=lnx在定义域(0,+∞)上单调递增,所以lnb²＞lna²,故D错误.]

例 3 (1) (2025·西安质测)已知$-1 ＜ a ＜ 5$，$-3 ＜ b ＜ 1$，则以下结论错误的是(D)

A.$-15 ＜ ab ＜ 5$
B.$-4 ＜ a + b ＜ 6$
C.$-2 ＜ a - b ＜ 8$
D.当$b \neq 0$时，$-\frac{5}{3} ＜ \frac{a}{b} ＜ 5$

答案： 例3
(1)D [
(1)由题知-1＜a＜5,因为-3＜b＜1,所以-1＜-b＜3,对于A,若$\begin{cases}-1＜a＜5,\\-3＜b＜0,\end{cases}$则-15＜ab＜3,若$\begin{cases}-1＜a＜5,\\b=0,\end{cases}$则ab=0,若$\begin{cases}-1＜a＜5,\\0＜b＜1,\end{cases}$则-1＜ab＜5,综上可得-15＜ab＜5,故A正确;对于B,-4=-3-1＜a+b＜1+5=6,故B正确;对于C,-2=-1-1＜a-b＜3+5=8,故C正确;对于D,当$a=4,b=\frac{1}{2}$时$,\frac{a}{b}=8,$故D错误.]

(2) (2025·重庆质检)已知$a - b \in [5, 27]$，$a + b \in [6, 30]$，则$7a - 5b$的取值范围是(D)

A.$[-24, 192]$
B.$[-24, 252]$
C.$[36, 252]$
D.$[36, 192]$

答案： 例3
(2)D [
(2)设7a-5b=m(a-b)+n(a+b)=(m+n)a-(m-n)b,所以$\begin{cases}m+n=7,\\m-n=5,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=6,\\n=1,\end{cases}$所以7a-5b=6(a-b)+(a+b).又a-b∈[5,27],a+b∈[6,30],所以7a-5b=6(a-b)+(a+b)∈[36,192].]

(1) 已知$3 ＜ a ＜ 8$，$4 ＜ b ＜ 9$，则$\frac{a}{b}$的取值范围是(-\frac{1}{3},2).

答案： $(1)(-\frac{1}{3},2) $　　
∵$4＜b＜9,$　　
∴$\frac{1}{9}＜\frac{1}{b}＜\frac{1}{4},$又$3＜a＜8,\frac{1}{9}×3＜\frac{1}{b}×8,$即$\frac{1}{3}＜\frac{a}{b}＜2.$　　

(2) 已知$-1 ＜ x ＜ 4$，$2 ＜ y ＜ 3$，则$x - y$的取值范围是(-4,2)，$3x + 2y$的取值范围是(1,18).

答案：
(2)$(-4,2)$ $(1,18)$ 
因为-1＜x＜4,2＜y＜3,所以-3＜-y＜-2,所以-4＜x-y＜2.由-3＜3x＜12,4＜2y＜6,得1＜3x+2y＜18.