《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

考点三 共线向量定理的应用
例3 (1)(2025·泰州调研)设$\boldsymbol{e}_{1}$，$\boldsymbol{e}_{2}$是两个不共线的向量，若向量$\boldsymbol{m}=-\boldsymbol{e}_{1}+k\boldsymbol{e}_{2}(k\in\mathbf{R})$与向量$\boldsymbol{n}=k\boldsymbol{e}_{1}-4\boldsymbol{e}_{2}(k\in\mathbf{R})$共线，则(B)

A.$k = 0$
B.$k=\pm2$
C.$k = 2$
D.$k = -2$

答案： 例3
(1)B [
(1)因为$\bm{e_1},\bm{e_2}$是两个不共线的向量，且$m=-\bm{e_1}+k\bm{e_2},n=k\bm{e_1}-4\bm{e_2}(k\in R)$共线，所以存在实数$\lambda\in R$，使得$m=\lambda n$，则$\begin{cases}-1=k\lambda\\k=-4\lambda\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=2\\\lambda=-\frac{1}{2}\end{cases}$或$\begin{cases}k=-2\\\lambda=\frac{1}{2}\end{cases}$，则$k=\pm2$。]

(2)(2025·衡水调研)已知点$O$是$\triangle ABC$的重心，过点$O$的直线与边$AB$，$AC$分别交于$M$，$N$两点，$D$为边$BC$的中点.若$\overrightarrow{AD}=x\overrightarrow{AM}+y\overrightarrow{AN}(x,y\in\mathbf{R})$，则$x + y =$(A)

A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$2$
D.$\frac{1}{2}$

答案：

(2)A [
(2)如图所示，由三角形重心的性质，可得$\frac{\overrightarrow{AO}}{\overrightarrow{AD}}=\frac{2}{3}$，
　　　　　　　　
所以$\overrightarrow{AD}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AO}$，所以$\frac{3}{2}\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AM}+y\overrightarrow{AN}$，即$\overrightarrow{AO}=\frac{2}{3}x\overrightarrow{AM}+\frac{2}{3}y\overrightarrow{AN}$。易知$M,O,N$三点共线，可得$\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}y=1$，所以$x+y=\frac{3}{2}$]

训练3 (1)已知$\boldsymbol{e}_{1}$，$\boldsymbol{e}_{2}$是平面内两个不共线的向量，$\overrightarrow{OA}=3\boldsymbol{e}_{1}+2\boldsymbol{e}_{2}$，$\overrightarrow{OB}=4\boldsymbol{e}_{1}+k\boldsymbol{e}_{2}$，$\overrightarrow{OC}=5\boldsymbol{e}_{1}-4\boldsymbol{e}_{2}$，若$A$，$B$，$C$三点共线，则实数$k$的值为(A)

A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$2$

答案： 训练3
(1)A [
(1)法一 因为$\overrightarrow{OA}=3\bm{e_1}+2\bm{e_2}$，$\overrightarrow{OB}=4\bm{e_1}+k\bm{e_2}$，$\overrightarrow{OC}=5\bm{e_1}-4\bm{e_2}$，所以$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(4\bm{e_1}+k\bm{e_2})-(3\bm{e_1}+2\bm{e_2})=\bm{e_1}+(k-2)\bm{e_2}$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=(5\bm{e_1}-4\bm{e_2})-(3\bm{e_1}+2\bm{e_2})=2\bm{e_1}-6\bm{e_2}$，又$A,B,C$三点共线，所以存在唯一的实数$\lambda$，使得$\overrightarrow{AB}=\lambda\overrightarrow{AC}$，即$\bm{e_1}+(k-2)\bm{e_2}=\lambda(2\bm{e_1}-6\bm{e_2})$，所以$\begin{cases}2\lambda=1\\-6\lambda=k-2\end{cases}$，解得$\begin{cases}\lambda=\frac{1}{2}\\k=-1\end{cases}$，故选A。
法二 根据题意，设$\overrightarrow{OA}=x\overrightarrow{OB}+(1-x)\overrightarrow{OC}$，则$3\bm{e_1}+2\bm{e_2}=[4x+5(1-x)]\bm{e_1}+[kx-4(1-x)]\bm{e_2}$，因为$\bm{e_1},\bm{e_2}$是平面内两个不共线的向量，所以$\begin{cases}4x+5(1-x)=3\\kx-4(1-x)=2\end{cases}$，得$\begin{cases}x=2\\k=-1\end{cases}$。]

(2)(2025·青岛调研)在$\triangle ABC$中，$\overrightarrow{BC}=3\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{CF}=2\overrightarrow{FA}$，$E$是$AB$的中点，$EF$与$AD$交于点$P$.若$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}(m,n\in\mathbf{R})$，则$m + n =$(A)

A.$\frac{3}{7}$
B.$\frac{4}{7}$
C.$\frac{6}{7}$
D.$1$

答案：

(2)A [
(2)如图所示，因为$\overrightarrow{BC}=3\overrightarrow{BD}$，所以$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$，
　　　　　　　　
则$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$。因为$A,P,D$三点共线，所以$\overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\lambda\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\lambda\overrightarrow{AC}(\lambda\in R)$。因为$\overrightarrow{CF}=2\overrightarrow{FA}$，所以$\overrightarrow{AF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$。因为$E$是边$AB$的中点，所以$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$。因为$E,P,F$三点共线，所以$\overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AE}+(1-k)\overrightarrow{AF}=\frac{1}{2}k\overrightarrow{AB}+\frac{1 - k}{3}\overrightarrow{AC}(k\in R)$，则$\begin{cases}\frac{2}{3}\lambda=\frac{1}{2}k\frac{1}{3}\lambda=\frac{1 - k}{3}\end{cases}$，解得$k=\frac{4}{7}$，从而$m=\frac{2}{7}$，$n=\frac{1}{7}$，故$m + n=\frac{3}{7}$]

典例 给定两个长度为$1$的平面向量$\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{OB}$，它们的夹角为$120^{\circ}$，如图，点$C$在以$O$为圆心的圆弧$\overset{\frown}{AB}$上运动，若$\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$，其中$x$，$y\in\mathbf{R}$，则$x + y$的最大值是________.

答案：
典例2[法一　由已知以$\overrightarrow{OA}$为$x$轴的正半轴，$O$为坐标原点，建立直角坐标系(图略)。其中$A(1,0)$，$B(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$，$C(\cos\theta,\sin\theta)$(其中$\angle AOC=\theta$，$0\leq\theta\leq\frac{2\pi}{3}$)。则有$\overrightarrow{c}=(\cos\theta,\sin\theta)=x(1,0)+y(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$，即$\begin{cases}x-\frac{y}{2}=\cos\theta\frac{\sqrt{3}}{2}y=\sin\theta\end{cases}$，得$x=\frac{\sqrt{3}}{3}\sin\theta+\cos\theta$，$y=\frac{2\sqrt{3}}{3}\sin\theta$，$x + y=\frac{\sqrt{3}}{3}\sin\theta+\cos\theta+\frac{2\sqrt{3}}{3}\sin\theta=\sqrt{3}\sin\theta+\cos\theta=2\sin(\theta+\frac{\pi}{6})$，其中$0\leq\theta\leq\frac{2\pi}{3}$，所以$(x + y)_{max}=2$，当且仅当$\theta=\frac{\pi}{3}$时取得。
法二 如图，连接$AB$交$\overrightarrow{OC}$于点$D$，设$\overrightarrow{OD}=t\overrightarrow{OC}$，
　　　　　　　　
由于$\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$，所以$\overrightarrow{OD}=t(x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB})$。因为$D,A,B$三点在同一直线上，所以$tx + ty = 1$，$x + y=\frac{1}{t}$，由于$\vert\overrightarrow{OD}\vert=t\vert\overrightarrow{OC}\vert=t$，当$\overrightarrow{OD}\perp AB$时$t$取到最小值$\frac{1}{2}$，当点$D$与点$A$或点$B$重合时$t$取到最大值$1$，故$1\leq x + y\leq2$。故$x + y$的最大值为$2$。
法三 （等和线法）连接$AB$，过$C$作直线$l// AB$，则直线$l$为以$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$为基底的平面向量基本定理系数的等和线，显然当$l$与圆弧相切于$C_1$时，定值最大，因为$\angle AOB = 120^{\circ}$，所以$\overrightarrow{OC_1}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，所以$x + y$的最大值为$2$。]

训练 如图，在$\triangle ABC$中，$H$为$BC$上异于$B$，$C$的任一点，$M$为$AH$的中点，若$\overrightarrow{AM}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AC}$，则$\lambda+\mu=$________.

答案： 训练$\frac{1}{2}$ [由等和线定理可知$\lambda+\mu=\frac{\overrightarrow{AM}}{\overrightarrow{AH}}=\frac{1}{2}$]