《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

考点三 复数的几何意义
例3 (1)(多选)(2025·青岛适应性检测)已知复数$z$，下列说法正确的是(AC)

A.若$z - \overline{z} = 0$，则$z$为实数
B.若$z^{2} + \overline{z}^{2} = 0$，则$z = \overline{z} = 0$
C.若$|z - i| = 1$，则$|z|$的最大值为$2$
D.若$|z - i| = |z| + 1$，则$z$为纯虚数

答案：
(1)AC [
(1)设z=a+bi(a,b∈R),则$\overline{z}=a - bi,$若$z-\overline{z}=0,$即(a+bi)-(a - bi)=2bi=0,即b=0,故z为实数,故A正确;若$z^{2}+\overline{z}^{2}=0,$则$(a+bi)^{2}+(a - bi)^{2}=0,a^{2}-b^{2}+2abi+a^{2}-b^{2}-2abi=0,$即$a^{2}=b^{2},$即a=±b,故B错误;若|z-i|=1,即|a+(b - 1)i|$=\sqrt{a^{2}+(b - 1)^{2}}=1,$所以$a^{2}+(b - 1)^{2}=1,z$表示以(0,1)为圆心,1为半径的圆上的点,且|z|表示圆上的点到原点的距离,所以|z|的最大值为2,故C正确;若|z-i|=|z|+1,即$\sqrt{a^{2}+(b - 1)^{2}}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}+1,b=-\sqrt{a^{2}+b^{2}},$则a=0且b≤0,此时z可能为实数也可能为纯虚数,故D错误.]

(2)(多选)(2025·泰安检测)已知复数$z$，$w$，则下列说法正确的是(ACD)

A.若$z = \overline{w}$，则$\overline{z} = w$
B.若$z = 3 + i$，$w = -2i$，则$z + w$在复平面内对应的点在第二象限
C.若$z^{2} = 1$，则$z = \overline{z}$
D.若$|z - 2| = 1$，复数$z$在复平面内对应的点为$Z$，则直线$OZ$($O$为原点)斜率的取值范围为$\left[-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\right]$

答案：
(2)ACD [
(2)对于A,设z=a+bi(a,b∈R),则$\overline{z}=a - bi,$若$z=\overline{z},$则$\overline{w}=w,$则w=a - bi,所以$\overline{w}=w,$故A正确;对于B,若z=3+i,w=-2i,则z+w=3 - i,所以z+w在复平面内对应的点在第四象限,故B错误;对于C,设z=a+bi(a,b∈R),由$z^{2}=1,$得$(a^{2}-b^{2})+2abi=1,$则a=±1,b=0,即z=±1,则$z=\overline{z},$故C正确;对于D,设z=x+yi(x,y∈R),则z-2=(x - 2)+yi,若|z-2|=1,则$(x - 2)^{2}+y^{2}=1,$即点Z在以(2,0)为圆心,1为半径的圆上,设过原点与圆相切的直线为y=kx,k≠0,即kx - y=0,则圆心到切线的距离$d=\frac{|2k|}{\sqrt{k^{2}+(-1)^{2}}}=1,$解得$k=±\frac{\sqrt{3}}{3},$所以直线OZ(O为原点)斜率的取值范围为$[-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}],$故D正确.]

(1)(2025·杭州模拟)复数$z = (a + 2) - (a + 3)i$在复平面内对应的点$Z$位于第二象限，则实数$a$的取值范围为(D)

A.$(-\infty, - 2)$
B.$(-3, - 2)$
C.$(-2, +\infty)$
D.$(-\infty, - 3)$

答案：
(1)D [
(1)由复数z=(a+2)-(a+3)i在复平面内对应的点Z位于第二象限,可得$\begin{cases}a + 2$＜0,\\-(a + 3)＞$0,\end{cases}$解得a＜-3.]

(2)(多选)(2025·西安调研)已知$z$满足$|z + i^{2} - i^{3}| = |z|$，且$z$在复平面内对应的点为$(x,y)$，则(AC)

A.$x - y - 1 = 0$
B.$x + y + 1 = 0$
C.$|z|$的最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$|z|$的最小值为$\frac{1}{2}$

答案：
(2)AC [
(2)由题意z=x+yi(x,y∈R),由|$z+i^{2}-i^{2}$|=|z|,得|x+yi-1+i|=|x-1+(y+1)i|=|x+yi|,即$(x-1)^{2}+(y+1)^{2}=x^{2}+y^{2},$即x - y - 1=0.故A正确;|z|表示复数z在复平面内对应的点(x,y)到原点的距离,易知其最小值为原点到直线x - y - 1=0的距离,即$\frac{\sqrt{2}}{2},$故C正确.]