《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

角度 2 与抛物线有关的最值问题
例 3 (1)若抛物线 $ y^{2} = 4x $ 的准线为 $ l $，$ P $ 是抛物线上任意一点，则 $ P $ 到准线 $ l $ 的距离与 $ P $ 到直线 $ 3x + 4y + 7 = 0 $ 的距离之和的最小值是(A)

A.2
B.$ \frac{13}{5} $
C.$ \frac{14}{5} $
D.3

答案： 例3
(1)A　[
(1)由抛物线定义可知点$P$到准线$l$的距离等于点$P$到焦点$F$的距离，由抛物线$y^2 = 4x$及直线方程$3x + 4y + 7 = 0$可得直线与抛物线相离，
故点$P$到准线$l$的距离与点$P$到直线$3x + 4y + 7 = 0$的距离之和的最小值为点$F(1,0)$到直线$3x + 4y + 7 = 0$的距离，即$\frac{|3 + 7|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = 2$.

(2)(2025·海南调研)已知抛物线 $ C:y^{2} = 4x $ 的焦点为 $ F $，$ A $ 为 $ C $ 上一点，$ B $ 为圆 $ M:(x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} = 1 $ 上一点，则 $ |AB| + |AF| $ 的最小值为______。

答案：
(2)3　[
(2)依题意抛物线$C$的准线方程为$x = -1$，
圆$(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 1$的圆心为$M(3,1)$，半径为$1$，过$A$作$AA'$垂直于抛物线$C$的准线，垂足为$A'$，
则$|AF| = |AA'|$，所以$|AB| + |AF| = |AB| + |AA'| \geq |AM| - 1 \geq 3 - 1 = 2$，
当$A,A',M$三点共线，且点$B$在$A,M$之间时等号成立.

(1)已知点 $ F $ 为抛物线 $ C:y^{2} = 4x $ 的焦点，过点 $ F $ 的直线 $ l $ 交抛物线 $ C $ 于 $ A,B $ 两点，且 $ \overrightarrow{AF} = t\overrightarrow{FB}(t ＞ 1) $，$ |AB| = \frac{16}{3} $，则 $ t = $3。

答案： 训练2
(1)3　[
(1)由题意得焦点$F(1,0)$，设直线$l$为$x = \lambda y + 1(\lambda \neq 0)$，
代入抛物线方程得$y^2 - 4\lambda y - 4 = 0$.
设$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，
由根与系数的关系得$y_1y_2 = -4$，　　　　　①
由$\overrightarrow{AF} = t\overrightarrow{FB}$，即$(1 - x_1,-y_1) = t(x_2 - 1,y_2)$，有$y_1 = -ty_2$，　　　　　　　　　　　　　②
$\therefore$由①②得$y_2 = \frac{2}{\sqrt{t}}$，$y_1 = -2\sqrt{t}$或$y_2 = -\frac{2}{\sqrt{t}}$，$y_1 = 2\sqrt{t}$，即$x_1 = t$，$x_2 = \frac{1}{t}$，
$\therefore |AB| = x_1 + x_2 + p = \frac{1}{t} + t + 2 = \frac{16}{3}$，
化简得$3t^2 - 10t + 3 = 0$，$\therefore t = 3$或$t = \frac{1}{3}$(舍).

(2)(2025·东北三省四市模拟)直线 $ l $ 与抛物线 $ x^{2} = 4y $ 交于 $ A,B $ 两点，若 $ |AB| = 6 $，则线段 $ AB $ 的中点 $ M $ 到 $ x $ 轴距离的最小值是______。

答案：

(2)2　[
(2)因为抛物线方程为$x^2 = 4y$，
所以抛物线的焦点为$F(0,1)$，
准线$l_1$的方程为$y = -1$.
如图，过点$A,B$分别向准线$l_1$作垂线，垂足分别为$A_1,B_1$，
连接$AF,BF$，过线段$AB$的中点$M$向准线$l_1$作垂线，垂足为$M_1$，
则$|MM_1| = \frac{|AA_1| + |BB_1|}{2} = \frac{|AF| + |BF|}{2} \geq \frac{|AB|}{2} = 3$，
当且仅当直线$l$过焦点，即等号成立.
因为过抛物线焦点的最短弦为通径，且最短弦长为$4$，$6 ＞ 4$，
所以直线$l$能过焦点，即等号成立，
即线段$AB$的中点$M$到准线$y = -1$的距离的最小值为$3$，
所以线段$AB$的中点$M$到$x$轴距离的最小值为$3 - 1 = 2$.

考点三 抛物线的综合问题
例 4 (1)(多选)(2024·新高考Ⅱ卷)抛物线 $ C:y^{2} = 4x $ 的准线为 $ l $，$ P $ 为 $ C $ 上动点。过 $ P $ 作 $ \odot A:x^{2} + (y - 4)^{2} = 1 $ 的一条切线，$ Q $ 为切点。过 $ P $ 作 $ l $ 的垂线，垂足为 $ B $，则(ABD)

A.$ l $ 与 $ \odot A $ 相切
B.当 $ P,A,B $ 三点共线时，$ |PQ| = \sqrt{15} $
C.当 $ |PB| = 2 $ 时，$ PA \perp AB $
D.满足 $ |PA| = |PB| $ 的点 $ P $ 有且仅有 2 个

答案： 例4
(1)ABD [
(1)对于A，易知$l:x = -1$，与$\odot A$相切，A正确；
对于B，$A(0,4),\odot A$的半径$r = 1$，当$P,A,B$三点共线时，$P(4,4)$，所以$|PA| = 4$，$\sqrt{|PA|^2 - r^2} = \sqrt{4^2 - 1^2} = \sqrt{15}$，故B正确；
对于C，当$|PB| = 2$时，$P(1,2),B(-1,-2)$，易知$PA$与$AB$不垂直，故C错误；
对于D，记抛物线的焦点为$F$，连接$AF,PF$，易知$F(1,0)$，
由抛物线定义可知$|PF| = |PB|$，
因为$|PA| = |PB|$，所以$|PA| = |PF|$，
所以点$P$在线段$AF$的中垂线上，线段$AF$的中垂线方程为$y = \frac{1}{4}x + \frac{15}{8}$，
即$x = 4y - \frac{15}{2}$，
代入$y^2 = 4x$可得$y^2 - 16y + 30 = 0$，
解得$y = 8 \pm \sqrt{34}$，易知满足条件的点$P$有且仅有两个，故D正确.

(2)(2025·重庆诊断)设 $ F $ 为抛物线 $ y^{2} = 8x $ 的焦点，$ A,B,C $ 为该抛物线上不同的三点，若 $ \overrightarrow{FA} + \overrightarrow{FB} + \overrightarrow{FC} = \overrightarrow{OF} $，$ O $ 为坐标原点，则 $ |\overrightarrow{FA}| + |\overrightarrow{FB}| + |\overrightarrow{FC}| = $______。

答案：
(2)14　[
(2)设$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$，
易知$p = 4$，$F(2,0)$，
则$\overrightarrow{FA} = (x_1 - 2,y_1)$，$\overrightarrow{FB} = (x_2 - 2,y_2)$，
$\overrightarrow{FC} = (x_3 - 2,y_3)$.
因为$\overrightarrow{FA} + \overrightarrow{FB} + \overrightarrow{FC} = \overrightarrow{OF}$，
所以$x_1 - 2 + x_2 - 2 + x_3 - 2 = 2$，
即$x_1 + x_2 + x_3 = 8$.
由抛物线的定义可得$|FA| = x_1 + 2$，
$|FB| = x_2 + 2$，$|FC| = x_3 + 2$，
所以$|FA| + |FB| + |FC| = x_1 + x_2 + x_3 + 6 = 14$.

过抛物线 $ C:x^{2} = 2py(p ＞ 0) $ 的焦点 $ F $ 作直线 $ l $ 与抛物线 $ C $ 交于 $ A,B $ 两点，当点 $ A $ 的纵坐标为 1 时，$ |AF| = 2 $。
(1)求抛物线 $ C $ 的方程；
(2)若抛物线 $ C $ 上存在点 $ M(-2,y_{0}) $，使得 $ \overrightarrow{MA} \perp \overrightarrow{MB} $，求直线 $ l $ 的方程。

答案： 训练3 解　
(1)抛物线$C:x^2 = 2py(p＞0)$的准线方程为$y = -\frac{p}{2}$，焦点为$F(0,\frac{p}{2})$.
$\because$当点$A$的纵坐标为$1$时，$|AF| = 2$，
$\therefore 1 + \frac{p}{2} = 2$，解得$p = 2$，
$\therefore$抛物线$C$的方程为$x^2 = 4y$.
(2)$\because$点$M(-2,y_0)$在抛物线$C$上，
$\therefore y_0 = \frac{(-2)^2}{4} = 1$.又$F(0,1)$，
$\therefore$设直线$l$的方程为$y = kx + 1$.
由$\begin{cases}y = kx + 1\\x^2 = 4y\end{cases}$，得$x^2 - 4kx - 4 = 0$.
设$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，
则$x_1 + x_2 = 4k$，$x_1x_2 = -4$，
$\overrightarrow{MA} = (x_1 + 2,y_1 - 1)$，$\overrightarrow{MB} = (x_2 + 2,y_2 - 1)$.
$\because \overrightarrow{MA} \perp \overrightarrow{MB}$，$\therefore \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$，
$\therefore (x_1 + 2)(x_2 + 2) + (y_1 - 1)(y_2 - 1) = 0$，
$\therefore -4 + 8k + 4 - 4k^2 = 0$，
解得$k = 2$或$k = 0$（舍去，$\because k = 0$时，$l$过点$M$）.
$\therefore$直线$l$的方程为$y = 2x + 1$.