《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

例 3 (1)函数 $ f ( x ) = | x | - \frac { m } { x } ( m \in \mathbf { R } ) $ 的图象不可能是 $(\quad)$

答案：
(1)C [
(1)当$m = 0$时，$f(x) = |x|(x \neq 0)$，A有可能；当$m = 1$时，$f(x) = \begin{cases} x - \frac{1}{x}, & x ＞ 0, \\ -x - \frac{1}{x}, & x ＜ 0 \end{cases}$，在$(0, +\infty)$上单调递增，在$(-\infty, -1)$上单调递减，在$(-1,0)$上单调递增，D有可能；当$m = -1$时，$f(x) = \begin{cases} x + \frac{1}{x}, & x ＞ 0, \\ -x + \frac{1}{x}, & x ＜ 0 \end{cases}$，在$(-\infty, 0)$上单调递减，在$(0,1)$上单调递减，在$(1, +\infty)$上单调递增，B有可能，C不可能. 故选C.]

(2)已知函数 $ f ( x ) = \left| x + \frac { a } { x } \right| ( a \in \mathbf { R } ) $，方程 $ f ( x ) = 4 $ 在 $[ 0, + \infty )$ 有两个解 $ x _ { 1 } $，$ x _ { 2 } $，记 $ g ( a ) = | x _ { 1 } - x _ { 2 } | $，则下列结论正确的是 $(\quad)$

A.函数 $ f ( x ) $ 的值域是 $[ 0, + \infty )$
B.若 $ a = - 1 $，则 $ f ( x ) $ 的增区间为 $[ - 1, 0 )$ 和 $[ 1, + \infty )$
C.若 $ a = 4 $，则 $ g ( a ) = 0 $
D.函数 $ g ( a ) $ 的最大值为 $ 4$$$

答案：
(2)B [
(2)当$a = 1$时，$f(x) = \left| x + \frac{1}{x} \right|$，$f(x)_{min} = 2$，值域为$[2, +\infty)$，故A错误；当$a = -1$时，$f(x) = \left| x - \frac{1}{x} \right|$，为偶函数，当$x \in [1, +\infty)$时，$f(x) = x - \frac{1}{x}$单调递增，由对称性知增区间为$[-1,0), [1, +\infty)$，故B正确；若$a = 4$，$f(x) = \left| x + \frac{4}{x} \right| = 4$，解得$x = \pm 2$，$g(a) = 4$，故C错误；若$a = 0$，$f(x) = |x| = 4$，$x = \pm 4$，$g(a) = 8$，故D错误. 故选B.]

例 4 (1)(多选)(2025·浙江名校联考)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设 $ x \in \mathbf { R } $，用 $[ x ]$ 表示不超过 $ x $ 的最大整数，则 $ y = [ x ] $ 称为高斯函数，例如 $[ - 2.1 ] = - 3$，$[ 2.1 ] = 2$，则下列说法正确的是 $(\quad)$

A.函数 $ y = x - [ x ] $ 在区间 $[ k, k + 1 ) ( k \in \mathbf { Z } )$ 上单调递增
B.函数 $ y = x - [ x ] $ 的值域为 $[ 0, 1 )$
C.函数 $ y = x - [ x ] $ 是 $\mathbf{R}$ 上的增函数
D.$ x \in \mathbf { R } $，$ x \geq [ x ] + 1 $

答案：
(1)AB [
(1)对于A，$x \in [k, k + 1), k \in \mathbf{Z}$，$[x] = k$，$y = x - k$单调递增，故A正确；对于B，$y = x - [x]$的值域为$[0,1)$，故B正确；对于C，$y = x - [x]$在$\mathbf{R}$上不是增函数，如$x = 0.5$时$y = 0.5$，$x = 1.5$时$y = 0.5$，故C错误；对于D，$x = 2$时，$[x] + 1 = 3$，$2 ＜ 3$，故D错误. 故选AB.]

(2)(多选)(2025·福州质检)德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数 $ f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l } { 1, x \in \mathbf { Q }, } \\ { 0, x \in \complement _ { \mathbf { R } } \mathbf { Q }, } \end{array} \right. $ 称为狄利克雷函数，则关于函数 $ f ( x ) $ 的叙述，正确的是 $(\quad)$

A.函数 $ y = f ( x ) $ 的图象是两条直线
B.$ f ( f ( x ) ) = 1 $
C.$ f ( \sqrt { 3 } ) ＞ f ( 1 ) $
D.$ \forall x \in \mathbf { R } $，都有 $ f ( 1 - x ) = f ( 2 + x ) $

答案：
(2)BD [
(2)函数$y = f(x)$的图象是断续的点集，不是两条直线，故A错误；当$x \in \mathbf{Q}$时，$f(x) = 1$，$f(f(x)) = f(1) = 1$，当$x \notin \mathbf{Q}$时，$f(x) = 0$，$f(f(x)) = f(0) = 1$，故B正确；$f(\sqrt{3}) = 0$，$f(1) = 1$，$f(\sqrt{3}) ＜ f(1)$，故C错误；$f(x)$为偶函数且以任意正有理数为周期，$1 - x$与$2 + x$的有理数性相同，故$f(1 - x) = f(2 + x)$，故D正确. 故选BD.]

(3)(2025·西安质检)已知 $ f ( x ) = 2 ^ { x + 1 } $，$ g ( x ) = 2 ^ { ( x + 1 ) ^ { 2 } } $，$ \forall x \in \mathbf { R } $，用 $ M ( x ) $ 表示 $ f ( x ) $，$ g ( x ) $ 中的较大者，记为：$ M ( x ) = \max \{ f ( x ), g ( x ) \} $. 当 $ x \in \mathbf { R } $ 时，函数 $ M ( x ) $ 的最小值为 $(\quad)$

A.$ 0 $
B.$ 1 $
C.$ 2 $
D.$ 4$$$

答案：
(3)B [
(3)若$x + 1 \geq (x + 1)^2$，则$-1 \leq x \leq 0$，此时$M(x) = 2^{x + 1}$；若$x + 1 ＜ (x + 1)^2$，则$x ＞ 0$或$x ＜ -1$，此时$M(x) = 2^{(x + 1)^2}$. 当$x \in [-1,0]$时，$M(x) = 2^{x + 1}$单调递增，$M(x)_{min} = M(-1) = 2^{0} = 1$. 当$x ＜ -1$或$x ＞ 0$时，$M(x) ＞ 1$. 综上，$M(x)$的最小值为1. 故选B.]

(1)函数 $ y = \frac { 1 } { 1 - x } $ 的图象与函数 $ y = 2 \sin \pi x ( - 2 \leq x \leq 4 ) $ 的图象所有交点的横坐标之和等于 $(\quad)$

A.$ 2 $
B.$ 4 $
C.$ 6 $
D.$ 8 $

答案：
(1)D [
(1)函数$y = \frac{1}{1 - x}$与函数$y = 2\sin \pi x(-2 \leq x \leq 4)$的图象均关于点$(1,0)$成中心对称，从图象可知两函数共有8个交点，均关于点$(1,0)$成中心对称，每个对称点的横坐标之和为2，8个交点的横坐标之和等于$4 × 2 = 8$. 故选D.]

(2)设 $ x \in \mathbf { R } $，用 $[ x ]$ 表示不超过 $ x $ 的最大整数，则 $ y = [ x ] $ 称为高斯函数，例如：$[ - 0.5 ] = - 1$，$[ 1.5 ] = 1$，已知函数 $ f ( x ) = 4 ^ { x - \frac { 1 } { 2 } } - 3 × 2 ^ { x } + 4 ( 0 ＜ x ＜ 2 ) $，则函数 $ y = [ f ( x ) ] $ 的值域为 $(\quad)$

A.$\left[ - \frac { 1 } { 2 }, \frac { 3 } { 2 } \right)$
B.$ \{ - 1, 0, 1 \} $
C.$ \{ - 1, 0, 1, 2 \} $
D.$ \{ 0, 1, 2$$\} $

答案：
(2)B [
(2)令$t = 2^x$，$0 ＜ x ＜ 2$，则$t \in (1,4)$，$f(x) = 4^{x - \frac{1}{2}} - 3 × 2^x + 4 = \frac{1}{2}(2^x)^2 - 3 × 2^x + 4 = \frac{1}{2}t^2 - 3t + 4$. 函数$g(t) = \frac{1}{2}t^2 - 3t + 4$在$(1,3]$上递减，在$[3,4)$上递增，$g(3) = -\frac{1}{2}$，$g(1) = \frac{3}{2}$，$g(4) = 0$，所以$f(x)$的值域为$[-\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$. 当$f(x) \in [-\frac{1}{2},0)$时，$[f(x)] = -1$；当$f(x) \in [0,1)$时，$[f(x)] = 0$；当$f(x) \in [1, \frac{3}{2})$时，$[f(x)] = 1$. 所以$y = [f(x)]$的值域是$\{-1,0,1\}$. 故选B.]