《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

1. 奇函数、偶函数的对称性
(1) 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。
(2) 若 $ f(x - 2) $ 是偶函数，则函数 $ f(x) $ 图象的对称轴为x=-2；若 $ f(x - 2) $ 是奇函数，则函数 $ f(x) $ 的图象的对称中心为(-2,0)。

答案： 1.
(1)原点 y轴
(2)x=-2 (-2,0)

2. 若函数 $ y = f(x) $ 的图象关于直线 $ x = a $ 对称，则 $ f(a - x) = f(a + x) $；若函数 $ y = f(x) $ 满足 $ f(a - x) = -f(a + x) $，则函数的图象关于点(a,0)对称。

答案： 2.(a,0)

3. 两个函数图象的对称
(1) 函数 $ y = f(x) $ 与 $ y = f(-x) $ 关于y轴对称；
(2) 函数 $ y = f(x) $ 与 $ y = -f(x) $ 关于x轴对称；
(3) 函数 $ y = f(x) $ 与 $ y = -f(-x) $ 关于原点对称。

答案： 3.
(1)y轴
(2)x轴
(3)原点

概念思考辨析 + 教材经典改编
1. 思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1) 函数 $ y = f(x + 1) $ 是偶函数，则函数 $ y = f(x) $ 的图象关于直线 $ x = 1 $ 对称。(√)
(2) 函数 $ y = f(x - 1) $ 是奇函数，则函数 $ y = f(x) $ 的图象关于点 $ (1, 0) $ 对称。(×)
(3) 若函数 $ f(x) $ 满足 $ f(x - 1) + f(x + 1) = 0 $，则 $ f(x) $ 的图象关于 $ y $ 轴对称。(×)
(4) 若函数 $ f(x) $ 满足 $ f(2 + x) = f(2 - x) $，则 $ f(x) $ 的图象关于直线 $ x = 2 $ 对称。(√)

答案： 1.
(1)√
(2)×
(3)×
(4)√ [
(2)函数y=f(x-1)是奇函数，则函数y=f(x)的图象关于点(-1,0)对称.
(3)由函数f(x)满足f(x-1)+f(x+1)=0可得f(x-1)=-f(x+1),所以f(x+2)=-f(x),所以f(-x)≠f(x),故f(x)的图象不关于y轴对称.]

2. (人教 A 必修一 P87T13 改编) 函数 $ f(x) = \frac{x + 1}{x} $ 图象的对称中心为(B)

A.$ (0, 0) $
B.$ (0, 1) $
C.$ (1, 0) $
D.$ (1, 1) $

答案： 2.B [因为$f(x)=\frac{x+1}{x}=1+\frac{1}{x},$由$y=\frac{1}{x}$向上平移一个单位长度得到$y=1+\frac{1}{x},$又$y=\frac{1}{x}$关于(0,0)对称，所以$f(x)=1+\frac{1}{x}$的图象关于(0,1)对称.]

3. 已知函数 $ y = f(x + 2) - 3 $ 是奇函数，且 $ f(4) = 2 $，则 $ f(0) = $4。

答案： 3.4 [法一 由y=f(x+2)-3是奇函数，
∴f(-x+2)-3=-f(x+2)+3,令x=2,f
(0)-3=-f
(4)+3,得f
(0)=4.法二 由y=f(x+2)-3是奇函数，得f(x)关于(2,3)对称，故f
(0)+f
(4)=6,即f
(0)=4.]

4. 若偶函数 $ y = f(x) $ 的图象关于直线 $ x = 2 $ 对称，且当 $ x \in [2, 3] $ 时，$ f(x) = 2x - 1 $，则 $ f(-1) = $5。

答案： 4.5 [
∵f(x)为偶函数,
∴f(-1)=f
(1),由f(x)的图象关于x=2对称，可得f
(1)=f
(3)=2×3-1=5,
∴f(-1)=5.]