《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

例1 在数列$\{a_n\}$中，$a_1 = 1$，$a_n = \frac{1}{2}a_{n - 1} + 2(n \geq 2)$，则数列$\{a_n\}$的通项公式为______。

答案： 例1$a_{n}=-3\left(\frac{1}{2}\right)^{n - 1}+4$ [法一 设$a_{n}+\lambda=\frac{1}{2}(a_{n - 1}+\lambda)$，即$a_{n}=\frac{1}{2}a_{n - 1}-\frac{1}{2}\lambda$，所以$-\frac{1}{2}\lambda=2$，即$\lambda=-4$，所以$a_{n}-4=\frac{1}{2}(a_{n - 1}-4)$.又$a_{1}-4=-3$，所以$a_{n}-4=(-3)\left(\frac{1}{2}\right)^{n - 1}$故数列$\{a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=-3\left(\frac{1}{2}\right)^{n - 1}+4$.法二 由$a_{n}=\frac{1}{2}a_{n - 1}+2(n\geq2)$得$a_{n - 1}=\frac{1}{2}a_{n - 2}+2(n\geq3)$，所以$a_{n}-a_{n - 1}=\frac{1}{2}(a_{n - 1}-a_{n - 2})(n\geq3)$.因为$a_{1}=1$，$a_{2}=\frac{1}{2}a_{1}+2=\frac{5}{2}$，所以$a_{2}-a_{1}=\frac{3}{2}$，所以$a_{n}-a_{n - 1}=\frac{3}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{n - 2}(n\geq2)$，所以由累加法可得$a_{n}=(a_{n}-a_{n - 1})+(a_{n - 1}-a_{n - 2})+\cdots+(a_{2}-a_{1})+a_{1}=\frac{\frac{3}{2}\left[1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n - 1}\right]}{1-\frac{1}{2}}+1=-3\left(\frac{1}{2}\right)^{n - 1}+4(n\geq2)$，又$a_{1}=1$满足上式，所以数列$\{a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=-3\left(\frac{1}{2}\right)^{n - 1}+4$]

例2（2025·广东大联考）在数列$\{a_n\}$中，$a_1 = 3$，且$a_{n + 1} = 3a_n + 4n - 6(n \in \mathbf{N}^*)$，则$\{a_n\}$的通项公式为______。

答案： 例2$a_{n}=3^{n}-2(n - 1)$ [法一 设$a_{n + 1}+p(n + 1)+q=3(a_{n}+pn+q)$，即$a_{n + 1}=3a_{n}+2pn+2q - p$，与原式相比较，对应项系数相等得$\begin{cases}2p = 4,\\2q - p = - 6,\end{cases}$解得$\begin{cases}p = 2,\\q = - 2.\end{cases}$首项$a_{1}+2 - 2 = 3$，所以数列$\{a_{n}+2n - 2\}$是首项为$3$，公比为$3$的等比数列，故$a_{n}+2n - 2 = 3×3^{n - 1}=3^{n}$，故$a_{n}=3^{n}-2(n - 1)$.法二 因为$a_{n + 1}=3a_{n}+4n - 6(n\in N^{*})$，所以$a_{n + 1}+2n = 3a_{n}+4n - 6 + 2n = 3[a_{n}+2(n - 1)]$.因为$a_{1}=3$，所以$a_{1}+2×(1 - 1)=3$，所以$\{a_{n}+2(n - 1)\}$是首项为$3$，公比为$3$的等比数列，则$a_{n}+2(n - 1)=3\cdot3^{n - 1}=3^{n}$，所以$a_{n}=3^{n}-2(n - 1)$.]

例3(2025·宜春调研)已知正项数列$\{a_n\}$中，$a_1 = 2$，$a_{n + 1} = 2a_n + 3× 5^n$，则数列$\{a_n\}$的通项$a_n =$(D)

A.$-3× 2^{n - 1}$
B.$3× 2^{n - 1}$
C.$5^n + 3× 2^{n - 1}$
D.$5^n - 3× 2^{n - 1}$

答案： 例3D [法一 在递推公式$a_{n + 1}=2a_{n}+3×5^{n}$的两边同时除以$5^{n + 1}$，得$\frac{a_{n + 1}}{5^{n + 1}}=\frac{2}{5}×\frac{a_{n}}{5^{n}}+\frac{3}{5}$ ①令$b_{n}=\frac{a_{n}}{5^{n}}$则①式变为$b_{n + 1}=\frac{2}{5}b_{n}+\frac{3}{5}$即$b_{n + 1}-1=\frac{2}{5}(b_{n}-1)$，所以数列$\{b_{n}-1\}$是等比数列，其首项为$b_{1}-1=\frac{a_{1}}{5}-1=-\frac{3}{5}$，公比为$\frac{2}{5}$，所以$b_{n}-1=-\frac{3}{5}×\left(\frac{2}{5}\right)^{n - 1}$即$b_{n}=1-\frac{3}{5}×\left(\frac{2}{5}\right)^{n - 1}$所以$\frac{a_{n}}{5^{n}}=1-\frac{3×2^{n - 1}}{5^{n}}$所以$a_{n}=5^{n}-3×2^{n - 1}$.法二 设$a_{n + 1}+k×5^{n + 1}=2(a_{n}+k×5^{n})$，则$a_{n + 1}=2a_{n}-3k×5^{n}$，与$a_{n + 1}=2a_{n}+3×5^{n}$比较可得$k=-1$，所以$a_{n + 1}-5^{n + 1}=2(a_{n}-5^{n})$，所以数列$\{a_{n}-5^{n}\}$是首项为$a_{1}-5=-3$，公比为$2$的等比数列，所以$a_{n}-5^{n}=-3×2^{n - 1}$，所以$a_{n}=5^{n}-3×2^{n - 1}$.]

训练1(1)已知数列$\{a_n\}$满足$a_{n + 1} = 2a_n + n$，$a_1 = 2$，则$a_n =$$2^{n + 1}-n - 1$。

答案： 训练1
(1)$2^{n + 1}-n - 1$ [
(1)令$a_{n + 1}+x(n + 1)+y=2(a_{n}+xn+y)$，即$a_{n + 1}=2a_{n}+xn+y - x$，与原等式比较得，$x=y = 1$，所以$\frac{a_{n + 1}+(n + 1)+1}{a_{n}+n + 1}=2$，所以数列$\{a_{n}+n + 1\}$是以$a_{1}+1 + 1 = 4$为首项，$2$为公比的等比数列，所以$a_{n}+n + 1=4×2^{n - 1}$，即$a_{n}=2^{n + 1}-n - 1$.]

(2)(2025·烟台质检)若数列$\{a_n\}$满足$a_1 = 2$，$a_{n + 1} - 2a_n = 3^{n - 1}$，则数列$\{a_n\}$的通项公式$a_n =$$2^{n - 1}+3^{n - 1}$。

答案： 训练1
(2)$2^{n - 1}+3^{n - 1}$ [
(2)因为$a_{n + 1}-2a_{n}=3^{n - 1}$，即$\frac{a_{n + 1}}{3^{n - 1}}-\frac{2}{3}\cdot\frac{a_{n}}{3^{n - 2}} = 1$，所以$\frac{a_{n + 1}}{3^{n - 1}}-3=\frac{2}{3}\left(\frac{a_{n}}{3^{n - 2}}-3\right)$，所以$\frac{\frac{a_{n + 1}}{3^{n - 1}}-3}{\frac{a_{n}}{3^{n - 2}}-3}=\frac{2}{3}$，因为$a_{1}=2$，所以$\frac{a_{1}}{3^{1 - 2}}-3=3$，故$\left\{\frac{a_{n}}{3^{n - 2}}-3\right\}$是以$3$为首项，$\frac{2}{3}$为公比的等比数列，所以$\frac{a_{n}}{3^{n - 2}}-3=3×\left(\frac{2}{3}\right)^{n - 1}$所以$a_{n}=2^{n - 1}+3^{n - 1}$.]

例4 已知数列$\{a_n\}$满足$a_1 = 1$，$a_2 = 2$，且$a_{n + 1} = 2a_n + 3a_{n - 1}(n \geq 2,n \in \mathbf{N}^*)$，则数列$\{a_n\}$的通项公式$a_n =$______。

答案： 例4$3^{n}-(-1)^{n}$ [法一 因为$a_{n + 1}=2a_{n}+3a_{n - 1}(n\geq2,n\in N^{*})$，设$b_{n}=a_{n + 1}+a_{n}$，所以$\frac{b_{n}}{b_{n - 1}}=\frac{a_{n + 1}+a_{n}}{a_{n}+a_{n - 1}}=\frac{3(a_{n}+a_{n - 1})}{a_{n}+a_{n - 1}} = 3$，又因为$b_{1}=a_{2}+a_{1}=3$，公比为$3$的等比数列.所以$b_{n}=a_{n + 1}+a_{n}=3×3^{n - 1}=3^{n}$，从而$\frac{a_{n + 1}}{3^{n + 1}}+\frac{1}{3}\cdot\frac{a_{n}}{3^{n}}=\frac{1}{3}$，不妨令$c_{n}=\frac{a_{n}}{3^{n}}$，即$c_{n + 1}+\frac{1}{3}c_{n}=\frac{1}{3}$，故$c_{n + 1}-\frac{1}{4}=\frac{1}{3}\left(c_{n}-\frac{1}{4}\right)$，即$c_{n}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}×\left(-\frac{1}{3}\right)^{n - 1}×\left(c_{1}-\frac{1}{4}\right)$，又因为$c_{1}=\frac{a_{1}}{3}=\frac{1}{4}-\frac{1}{12}$，所以数列$\left\{c_{n}-\frac{1}{4}\right\}$是首项为$\frac{1}{12}$，公比为$-\frac{1}{3}$的等比数列，故$c_{n}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}×\left(-\frac{1}{3}\right)^{n - 1}$从而$a_{n}=\frac{3^{n}-(-1)^{n}}{4}$法二 因为方程$x^{2}=2x + 3$的两根为$-1,3$，可设$a_{n}=c_{1}\cdot(-1)^{n - 1}+c_{2}\cdot3^{n - 1}$，由$a_{1}=1,a_{2}=2$，解得$c_{1}=\frac{1}{4},c_{2}=\frac{3}{4}$，所以$a_{n}=\frac{3^{n}-(-1)^{n}}{4}$.]

训练2 若$x = 1$是函数$f(x) = a_{n + 1}x^4 - a_nx^3 - a_{n + 2}x + 1(n \in \mathbf{N}^*)$的极值点，数列$\{a_n\}$满足$a_1 = 1$，$a_2 = 3$，则数列$\{a_n\}$的通项公式$a_n =$$3^{n - 1}$。

答案： 训练2$3^{n - 1}$ [$f^{\prime}(x)=4a_{n + 1}x^3 - 3a_nx^2 - a_{n + 2}$，$\therefore f^{\prime}(1)=4a_{n + 1}-3a_{n}-a_{n + 2}=0$，即$a_{n + 2}-a_{n + 1}=3(a_{n + 1}-a_{n})$，$\therefore$数列$\{a_{n + 1}-a_{n}\}$是首项为$2$，公比为$3$的等比数列，$\therefore a_{n + 1}-a_{n}=2×3^{n - 1}$，则$a_{n}=a_{n}-a_{n - 1}-a_{n - 1}-a_{n - 2}+\cdots+a_{2}-a_{1}+a_{1}=2×(3^{n - 2}+3^{n - 3}+\cdots+3^{1}+3^{0})+1=2×\frac{1 - 3^{n - 1}}{1 - 3}+1=3^{n - 1}-1 + 1=3^{n - 1}$.]

例5 已知在数列$\{a_n\}$中，$a_1 = 1$，$a_{n + 1} = \frac{2a_n}{a_n + 3}$，则$a_n =$______。

答案： 例5$\frac{2^{n - 2}}{3^{n - 1}-2^{n - 2}}$ [$\because a_{n + 1}=\frac{2a_n}{a_n + 3}$，得$\frac{1}{a_{n + 1}}=\frac{a_{n}+3}{2a_{n}}=\frac{3}{2a_{n}}+\frac{1}{2}$.设$\frac{1}{a_{n + 1}}+p=\frac{3}{2}\left(\frac{1}{a_{n}}+p\right)$，即$\frac{1}{a_{n + 1}}=\frac{3}{2a_{n}}+\frac{p}{2}-\frac{1}{2}$，故$\frac{p}{2}-\frac{1}{2}=0$，$p = 1$，所以$\frac{1}{a_{n + 1}}+1=\frac{3}{2}\left(\frac{1}{a_{n}}+1\right)$.所以数列$\left\{\frac{1}{a_{n}}+1\right\}$是以$\frac{1}{a_{1}}+1=2$为首项，以$\frac{3}{2}$为公比的等比数列.所以$\frac{1}{a_{n}}+1=2\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^{n - 1}$，即$a_{n}=\frac{2^{n - 2}}{3^{n - 1}-2^{n - 2}}$.]

训练3(2025·重庆诊断)已知数列$\{a_n\}$满足$a_1 = 1$，$a_{n + 1} = \frac{a_n}{4a_n + 1}(n \in \mathbf{N}^*)$，则(D)
A.$a_n = \frac{1}{n}$
B.$a_n = \frac{1}{2n - 1}$
C.$a_n = \frac{2n - 1}{4n - 3}$
D.$a_n = \frac{1}{4n - 3}$

答案： 训练3D [易知$a_n\neq0,a_{n + 1}=\frac{a_n}{4a_n + 1}$，即$\frac{1}{a_{n + 1}}=\frac{1}{a_{n}}+4$，可得$\frac{1}{a_{n + 1}}-\frac{1}{a_{n}} = 4$，又$a_{1}=1$，所以数列$\left\{\frac{1}{a_{n}}\right\}$是首项为$1$，公差为$4$的等差数列，所以$\frac{1}{a_{n}}=1 + 4(n - 1)=4n - 3$，即$a_{n}=\frac{1}{4n - 3}$.]