《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

考点二 利用导数求函数的最值
角度 1 求已知函数的最值
例 4 (2022·全国乙卷)函数 $ f(x) = \cos x + (x + 1) \cdot \sin x + 1 $ 在区间 $[0, 2\pi]$ 上的最小值、最大值分别为 (D)

A.$-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}$
B.$-\frac{3\pi}{2}, \frac{\pi}{2}$
C.$-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} + 2$
D.$-\frac{3\pi}{2}, \frac{\pi}{2} + 2$

答案： 例4 D [$f(x)=\cos x+(x + 1)\sin x + 1$，$x\in[0,2\pi]$，则$f^{\prime}(x)=-\sin x+\sin x+(x + 1)\cdot\cos x=(x + 1)\cos x$，$x\in[0,2\pi]$。令$f^{\prime}(x)=0$，解得$x = - 1$(舍去)，$x=\frac{\pi}{2}$或$x=\frac{3\pi}{2}$。因为$f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\cos\frac{\pi}{2}+\left(\frac{\pi}{2}+1\right)\sin\frac{\pi}{2}+1=2+\frac{\pi}{2}$，$f\left(\frac{3\pi}{2}\right)=\cos\frac{3\pi}{2}+\left(\frac{3\pi}{2}+1\right)\sin\frac{3\pi}{2}+1=-\frac{3\pi}{2}$，又$f(0)=\cos0+(0 + 1)\sin0 + 1 = 2$，$f(2\pi)=\cos2\pi+(2\pi + 1)\sin2\pi + 1 = 2$，所以$f(x)_{\max}=f\left(\frac{\pi}{2}\right)=2+\frac{\pi}{2}$，$f(x)_{\min}=f\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-\frac{3\pi}{2}$。故选D。]

角度 2 由函数的最值求参数
例 5 (2025·福建名校联考)已知函数 $ f(x) = x^3 - 3x^2 + 3 $ 在区间 $(a, a + 6)$ 上存在最小值，则实数 $ a $ 的取值范围为 (A)

A.$[-1, 2)$
B.$\left[-\frac{5}{2}, 1\right)$
C.$\left[-2, \frac{3}{2}\right)$
D.$[-1, 1)$

答案：
例5 A [由题意得$f^{\prime}(x)=3x^{2}-6x = 3x(x - 2)$。当$f^{\prime}(x)＞0$时，得$x＜0$或$x＞2$；当$f^{\prime}(x)＜0$时，得$0＜x＜2$，故函数$f(x)$的单调递增区间为$(-\infty,0)$，$(2,+\infty)$，单调递减区间为$(0,2)$。即$x = 2$时，函数$f(x)$取得极小值$f(2)= - 1$，画出$f(x)$的图象如图。

当$x^{3}-3x^{2}+3 = - 1$时，$(x + 1)(x - 2)^{2}=0$，解得$x = - 1$或$x = 2$，故要使函数$f(x)=x^{3}-3x^{2}+3$在区间$(a,a + 6)$上存在最小值，需有$\begin{cases}a + 6＞2\\-1\leq a＜2\end{cases}$，解得$-1\leq a＜2$，即实数$a$的取值范围为$[-1,2)$。]

(1)(2025·南京、盐城模拟)用 $ \min\{x, y\} $ 表示 $ x $，$ y $ 中较小的数. 已知函数 $ f(x) = \frac{x}{e^x} $，则 $ \min\{f(x), f(x + \ln 2)\} $ 的最大值为 (C)

A.$\frac{2}{e^2}$
B.$\frac{1}{e}$
C.$\frac{\ln 2}{2}$
D.$\ln 2$

答案：
训练2
(1)C [
(1)$\because f(x)=\frac{x}{e^{x}}$，$\therefore f^{\prime}(x)=\frac{1 - x}{e^{x}}$，易知$f(x)$在$(-\infty,1)$上单调递增，在$(1,+\infty)$上单调递减。由题意，令$f(x)=f(x + \ln2)$，即$\frac{x}{e^{x}}=\frac{x + \ln2}{e^{x + \ln2}}$，解得$x=\ln2$。作出$y = f(x)$与$y = f(x + \ln2)$的大致图象如图所示。

则$\min\{f(x),f(x + \ln2)\}$的最大值为两函数图象交点处函数值，为$\frac{\ln2}{2}$。]

(2)(2025·河北名校联考)已知函数 $ f(x) = ax - \ln x $ 的最小值为 0，则 $ a = $$\frac{1}{e}$.

答案： 训练2
(2)$\frac{1}{e}$ [
(2)由$f(x)=ax-\ln x$，得$f^{\prime}(x)=a-\frac{1}{x}=\frac{ax - 1}{x}$，$x＞0$。若$a\leq0$，则$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递减，无最小值，则$a＞0$，则$f(x)$在$\left(0,\frac{1}{a}\right)$上单调递减，在$\left(\frac{1}{a},+\infty\right)$上单调递增，所以$f(x)_{\min}=f\left(\frac{1}{a}\right)=1+\ln a = 0$，解得$a=\frac{1}{e}$。]

典例
已知任意三次函数的图象必存在唯一的对称中心，若函数 $ f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c $，且 $ M(x_0, f(x_0)) $ 为曲线 $ y = f(x) $ 的对称中心，则必有 $ g'(x_0) = 0 $(其中函数 $ g(x) = f'(x) $). 若实数 $ m $，$ n $ 满足 $ \begin{cases} m^3 + 6m^2 + 13m = 10, \\ n^3 + 6n^2 + 13n = -30, \end{cases} $ 则 $ m + n = $ (A)

A.$-4$
B.$-3$
C.$-2$
D.$-1$

答案： 典例A [令$f(x)=x^{3}+6x^{2}+13x$，则$f^{\prime}(x)=3x^{2}+12x + 13$，令$h(x)=3x^{2}+12x + 13$，$h^{\prime}(x)=6x + 12 = 0$，解得$x = - 2$，又$f(-2)=(-2)^{3}+6×(-2)^{2}+13×(-2)=-10$，所以函数$f(x)$的图象关于点$(-2,-10)$成中心对称。因为$\begin{cases}m^{3}+6m^{2}+13m = 10\\n^{3}+6n^{2}+13n = - 30\end{cases}$，所以$f(m)+f(n)= - 20$，又$f^{\prime}(x)=3x^{2}+12x + 13 = 3(x + 2)^{2}+1＞0$，所以函数$f(x)=x^{3}+6x^{2}+13x$在$\mathbf{R}$上单调递增，所以$m + n = 2×(-2)= - 4$。]

训练
(多选)(2024·新高考Ⅱ卷)设函数 $ f(x) = 2x^3 - 3ax^2 + 1 $，则 (AD)

A.当 $ a ＞ 1 $ 时，$ f(x) $ 有三个零点
B.当 $ a ＜ 0 $ 时，$ x = 0 $ 是 $ f(x) $ 的极大值点
C.存在 $ a $，$ b $，使得 $ x = b $ 为曲线 $ y = f(x) $ 的对称轴
D.存在 $ a $，使得点 $ (1, f(1)) $ 为曲线 $ y = f(x) $ 的对称中心

答案： 训练AD [由题可知，$f^{\prime}(x)=6x(x - a)$。对于A，当$a＞1$时，由$f^{\prime}(x)＜0$得$0＜x＜a$，由$f^{\prime}(x)＞0$得$x＜0$或$x＞a$，则$f(x)$在$(-\infty,0)$上单调递增，在$(0,a)$上单调递减，在$(a,+\infty)$上单调递增，且当$x\to - \infty$时，$f(x)\to - \infty$，$f(0)=1$，$f(a)=1 - a^{3}＜0$，当$x\to +\infty$时，$f(x)\to +\infty$，故$f(x)$有三个零点，A正确；对于B，当$a＜0$时，由$f^{\prime}(x)＜0$得$a＜x＜0$，由$f^{\prime}(x)＞0$得$x＞0$或$x＜a$，则$f(x)$在$(-\infty,a)$上单调递增，在$(a,0)$上单调递减，在$(0,+\infty)$上单调递增，且$x = 0$是$f(x)$的极小值点，B错误；对于C，假设存在这样的$a,b$，使得$x = b$为$f(x)$的对称轴，即存在这样的$a,b$使$f(x)=f(2b - x)$，即$2x^{3}-3ax^{2}+1 = -2(2b - x)^{3}+3a(2b - x)^{2}+1$，根据二项式定理，整理，等式右边展开式含有$x^{3}$的项为$-2(2b - x)^{3}$展开式含$x^{3}$的项为$-2×(-x)^{3}=2x^{3}$，于是等式左右两边$x^{3}$的系数都不相等，原式不可能相等，故曲线$y = f(x)$必不存在对称轴，C错误；对于D，由题意知$\frac{a}{2}=1$，即$a = 2$，故存在$a = 2$，使得点$(1,f(1))$为曲线$y = f(x)$的对称中心，D正确，故选AD。]