《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

考点三 指数函数的性质及应用
角度1 比较大小
例3 已知$a = 3^{\frac{2}{3}},b = 2^{\frac{3}{4}},c = 4^{\frac{1}{3}}$，则(D)

A.$c ＜ a ＜ b$
B.$b ＜ c ＜ a$
C.$b ＜ a ＜ c$
D.$c ＜ b ＜ a$

答案： 例3 D [法一 因为$a,b,c$都大于0,
所以可以同时进行乘方运算,
将分数指数幂化成整数指数幂.
$a^{12}=(3^{\frac{2}{3}})^{12}=3^{\frac{2}{3}×12}=3^{8}$
$b^{12}=(2^{\frac{3}{4}})^{12}=2^{\frac{3}{4}×12}=2^{9}$
$c^{12}=(4^{\frac{1}{3}})^{12}=4^{\frac{1}{3}×12}=4^{4}=2^{8}$
很明显,$b＞c,a＞c$,
又$a^{12}=3^{8}=3^{4}×3^{4}=81^{2}=6561$
$b^{12}=2^{9}=512$
所以$c＜b＜a$.
法二 通过观察,$b$与$c$可化成同底数的指数式,我们先比较$b$与$c$,$c=4^{\frac{1}{3}}=(2^{2})^{\frac{1}{3}}=2^{\frac{2}{3}}$,因为$\frac{3}{4}＞\frac{2}{3}$,所以由函数$y=2^{x}$在R上单调递增可得,$2^{\frac{3}{4}}＞2^{\frac{2}{3}}$,即$b＞c$.
下面我们比较$a$与$b$,
$a=3^{\frac{2}{3}}=(3^{3})^{\frac{2}{9}}=9^{\frac{2}{9}}$,$b=2^{\frac{3}{4}}=(2^{3})^{\frac{1}{4}}=8^{\frac{3}{4}}$,由指数函数与幂函数性质可得$8^{\frac{3}{4}}＜9^{\frac{3}{4}}$,所以$b＜a$.综上,$c＜b＜a$.]

角度2 解指数方程或不等式
例4 (1) 已知$y = 4^x - 3\cdot2^x + 3$的值域为$[1,7]$，则$x$的取值范围是(D)

A.$[2,4]$
B.$(-\infty,0)$
C.$(0,1)\cup[2,4]$
D.$(-\infty,0]\cup[1,2]$

答案： 例4
(1)D [
(1)
∵$y=4^{x}-3\cdot2^{x}+3$的值域为$[1,7]$,
∴$1\leq4^{x}-3\cdot2^{x}+3\leq7$,且$2^{x}＞0$,
∴$0＜2^{x}\leq1$或$2\leq2^{x}\leq4$,
∴$x\leq0$或$1\leq x\leq2$.]

(2) (2025·武汉质检)已知$p:a^x ＜ 1(a＞1)$，$q:2^{x + 1} - x ＜ 2$，则$p$是$q$的(B)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案：

(2)B [
(2)
∵$a^{x}＜1$,当$a＞1$时,$y=a^{x}$是增函数,
∴$p:\{x|x＜0\}$.
对于不等式$2^{x+1}＜x+2$,
作出函数$y=2^{x+1}$与$y=x+2$的图象,

由图象可知,不等式$2^{x+1}＜x+2$的解集为$\{x|-1＜x＜0\}$.
∴$q:\{x|-1＜x＜0\}$.
又
∵$\{x|-1＜x＜0\}\subset\{x|x＜0\}$,
∴$p$是$q$的必要不充分条件.]

角度3 指数函数性质的综合应用
例5 已知函数$f(x)=\frac{8^x + a\cdot2^x}{a\cdot4^x}$($a$为常数，且$a\neq0,a\in\mathbf{R}$)，且$f(x)$是奇函数。
(1) 求$a$的值；-1
(2) 若$\forall x\in[1,2]$，都有$f(2x) - mf(x)\geqslant0$成立，求实数$m$的取值范围。[\frac{17}{4},+\infty)

答案： 例5 解
(1)$f(x)=\frac{1}{a}×2^{x}+\frac{1}{2^{x}}$
因为$f(x)$是奇函数,
所以$f(-x)=-f(x)$,
所以$\frac{1}{a}×\frac{1}{2^{x}}+2^{x}=-(\frac{1}{a}×2^{x}+\frac{1}{2^{x}})$,
所以$(\frac{1}{a}+1)(2^{x}+\frac{1}{2^{x}})=0$,
即$\frac{1}{a}+1=0$,
解得$a=-1$.
(2)因为$f(x)=\frac{1}{2^{x}}-2^{x},x\in[1,2]$,
所以$\frac{1}{2^{2x}}-2^{x}\geq m(\frac{1}{2^{x}}-2^{x})$,
所以$m\geq\frac{1}{2^{2x}}+2^{x},x\in[1,2]$,
令$t=2^{x},t\in[2,4]$,
由于$y=t+\frac{1}{t}$在$[2,4]$上单调递增,
所以$m\geq4+\frac{1}{4}=\frac{17}{4}$,
则实数$m$的取值范围是$[\frac{17}{4},+\infty)$.

(1) (多选)若$4^m - 4^n ＜ 5^{-m} - 5^{-n}$，则下列关系正确的是(ACD)

A.$m ＜ n$
B.$n^{-3} ＞ m^{-3}$
C.$\sqrt[3]{m} ＜ \sqrt[3]{n}$
D.$3^{-n} ＜ 3^{-m}$

答案：
(1)ACD [
(1)由$4^{m}-4^{n}＜5^{-m}-5^{-n}$得$4^{m}-5^{-m}＜4^{n}-5^{-n}$,
令$f(x)=4^{x}-5^{-x}$,则$f(m)＜f(n)$.
因为函数$y=4^{x},y=-5^{-x}$在R上都是增函数,
所以$f(x)$在R上是增函数,所以$m＜n$,故A正确;
当$m=1,n=2$时,$n^{-3}＜m^{-3}=1$,
故B错误;
因为函数$y=x^{\frac{1}{3}}$在R上单调递增,
所以由$m＜n$得$\sqrt[3]{m}＜\sqrt[3]{n}$,故C正确;
因为函数$y=3^{-x}$在R上单调递减,
所以由$m＜n$得$3^{-n}＜3^{-m}$,故D正确.]

(2) (多选)(2025·临沂模拟)已知函数$f(x)=\frac{2}{2^x - 1} + a(a\in\mathbf{R})$，则(ACD)

A.$f(x)$的定义域为$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$
B.$f(x)$的值域为$\mathbf{R}$
C.当$a = 1$时，$f(x)$为奇函数
D.当$a = 2$时，$f(-x) + f(x) = 2$

答案：
(2)ACD [
(2)对于函数$f(x)=\frac{2}{2^{x}-1}+a(a\in R)$,
令$2^{x}-1≠0$,解得$x≠0$,所以$f(x)$的定义域为$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$,故A正确;
当$x＞0$时,$2^{x}＞1,2^{x}-1＞0$,
所以$\frac{2}{2^{x}-1}+a＞a$;
当$x＜0$时,$0＜2^{x}＜1$,$-1＜2^{x}-1＜0$,
所以$\frac{2}{2^{x}-1}＜-2$,
所以$\frac{2}{2^{x}-1}+a＜-2+a$,
综上可得,$f(x)$的值域为$(-\infty,-2+a)\cup(a,+\infty)$,故B错误;
当$a=1$时,$f(x)=\frac{2}{2^{x}-1}+1=\frac{2^{x}+1}{2^{x}-1}$,
定义域为$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$,
$f(-x)=\frac{2^{-x}+1}{2^{-x}-1}=-\frac{2^{x}+1}{2^{x}-1}=-f(x)$,
所以$f(x)=\frac{2}{2^{x}-1}+1$为奇函数,故C正确;
当$a=2$时,$f(x)=\frac{2}{2^{x}-1}+2=\frac{2^{x}+1}{2^{x}-1}+1$,
则$f(x)+f(-x)=\frac{2^{x}+1}{2^{x}-1}+1+\frac{2^{-x}+1}{2^{-x}-1}+1=2$,故D正确.]