《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

(1) 根据表格中的数据可以判定方程 $ \ln x - x + 2 = 0 $ 的一个根所在的区间为(C)


A.$ (1, 2) $
B.$ (2, 3) $
C.$ (3, 4) $
D.$ (4, 5)$$$

答案： 训练1
(1)C [
(1)设$f(x)=\ln x - x+2 =\ln x - (x - 2),$易知函数f(x)在(1,+∞)上的图象连续,
由表格数据得$f(1)＞0,f(2)＞0,f(3)=\ln 3 - (3 - 2)=1.099 - 1=0.099＞0,f(4)=\ln 4 - 2=1.386 - 2＜0,f(5)＜0,$则f
(3)·f
(4)＜0,
即在区间(3,4)上,函数f(x)存在一个零点,即方程$\ln x - x+2=0$的一个根所在的区间为(3,4).]

(2) (2025·南昌调研) 函数 $ f(x) $ 是函数 $ y = 3^x $ 的反函数, 函数 $ g(x) = f(x) + 2^x - 6 $ 的零点为 $ a $, 且 $ a \in (n, n + 1) (n \in \mathbf{N}) $, 则 $ n = $____.

答案： 训练1
(2)2　[
(2)由题可知$,f(x)=\log_{3}x,$
则$g(x)=\log_{3}x+2^{x} - 6,$
所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递增.
又$g(2)=\log_{3}2+2^{2} - 6=\log_{3}2 - 2＜0,$
$g(3)=\log_{3}3+2^{3} - 6=3＞0,$
所以a∈(2,3),即n=2.]

考点二 函数零点个数的判断
例 2 (1) 函数 $ f(x) = 2^x + x^3 - 2 $ 在区间 $ (0, 1) $ 内的零点个数是(B)

A.0
B.1
C.2
D.3

答案：
例2
(1)B　[
(1)法一
∵f
(0)f
(1)=( - 1)×1= - 1＜0,且函数在定义域上单调递增且连续,
∴函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点.
法二　设$y_{1}=2^{x},$
$y_{2}=2 - x^{3},$
在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示,

在区间(0,1)内,两图象的交点个数即为f(x)的零点个数.
故函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点.]

(2) 已知定义在 $ \mathbf{R} $ 上的奇函数 $ f(x) $ 满足 $ f(2 - x) = f(x) $, 当 $ x \in [0, 1] $ 时, $ f(x) = 2^x - 1 $, 则方程 $ f(x) = |\log_9 x| $ 的实根的个数为(C)

A.3
B.4
C.5
D.6

答案：
例2
(2)C　[
(2)由奇函数可知f(2 - x)=f(x)= - f( - x),即f(x+2)= - f(x),f(x+4)= - f(x+2)=f(x),则f(x)是周期为4的周期函数，又由f(2 - x)=f(x),得f(x)的图象关于直线x=1对称，作出函数y=|$\log_{8}x$|与函数y=f(x)的大致图象如图所示,
结合图象可知，共有5个交点，即方程实根的个数为5.]

(1) (2025·海南质检) 函数 $ y = e^x + x^2 + 2x - 1 $ 的零点个数为(C)

A.0
B.1
C.2
D.3

答案：
训练2
(1)C [
(1)函数$y=e^{x}+x^{2}+2x - 1$的零点个数即函数$f(x)=e^{x}$与$g(x)= - x^{2} - 2x+1$的图象的交点个数,
在同一直角坐标系中,分别作出$f(x)=e^{x}$与$g(x)= - x^{2} - 2x+1$的图象,如图所示,

由图可知,两图象有2个交点,故原函数有2个零点,故选C.]

(2) 函数 $ f(x) $ 是 $ \mathbf{R} $ 上最小正周期为 2 的周期函数, 当 $ 0 \leq x ＜ 2 $ 时, $ f(x) = x^2 - x $, 则函数 $ y = f(x) $ 的图象在区间 $[-3, 3]$ 上与 $ x $ 轴的交点个数为(B)

A.6
B.7
C.8
D.9

答案： 训练2
(2)B [
(2)令$f(x)=x^{2} - x=0,$
即x=0或x=1,所以f
(0)=0,f
(1)=0,
因为函数的最小正周期为2,
所以f
(2)=0,f
(3)=0,f( - 2)=0,f( - 1)=0,f( - 3)=0,
所以函数y=f(x)的图象在区间[ - 3,3]上与x轴的交点个数为7.]