《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

2. (苏教选修一 P13T2)直线 $ y = k(x + 1)(k ＞ 0) $ 可能是(B)

答案： 2.B [因为$k＞0$,故$A$,$C$不正确；
当$x = - 1$时,$y = 0$,直线过点$(-1,0)$,故选$B$。]

3. (北师大选修一 P8T3 改编)已知直线 $ l $ 的一个方向向量 $ \boldsymbol{v} = (3, 1) $，则直线 $ l $ 的斜率为(D)

A.$ -3 $
B.$ 3 $
C.$ -\frac{1}{3} $
D.$ \frac{1}{3} $

答案： 3.D [因为$v=(3,1)$,故直线的斜率为$k=\frac{1}{3}$。]

4. (人教 A 选修一 P67 习题 2.2T2 改编)已知 $ A(3, 5) $，$ B(4, 7) $，$ C(-1, x) $ 三点共线，则 $ x = $ -3.

答案： 4.-3 [因为$A$,$B$,$C$三点共线,所以$k_{AB}=k_{AC}$,所以$\frac{7 - 5}{4 - 3}=\frac{x - 5}{-1 - 3}$,所以$x = - 3$。]

考点一 直线的倾斜角与斜率
例 1 (1) 已知直线 $ l $ 的一个方向向量为 $ \boldsymbol{p} = \left( \sin \frac{\pi}{3}, \cos \frac{\pi}{3} \right) $，则直线 $ l $ 的倾斜角为(A)

A.$ \frac{\pi}{6} $
B.$ \frac{\pi}{3} $
C.$ \frac{2\pi}{3} $
D.$ \frac{4\pi}{3} $

答案： 例1
(1)A [
(1)由题意得,直线$l$的斜率
$k=\frac{\cos\frac{\pi}{3}}{\sin\frac{\pi}{3}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}$,
即直线$l$的倾斜角为$\frac{\pi}{6}$。]

(2) 已知两点 $ A(2, -3) $，$ B(-3, 2) $，直线 $ l $ 过点 $ P(1, 1) $ 且与线段 $ AB $ 相交，则直线 $ l $ 的斜率 $ k $ 的取值范围是(B)

A.$ -4 \leq k \leq -\frac{1}{4} $
B.$ k \leq -4 $ 或 $ k \geq -\frac{1}{4} $
C.$ -4 \leq k \leq \frac{3}{4} $
D.$ -\frac{3}{4} \leq k \leq 4$$$

答案：

(2)B [
(2)结合图形,

由题意得,所求直线的斜率$k$满足$k\geq k_{PB}$或$k\leq k_{PA}$,即$k\geq-\frac{1}{4}$或$k\leq - 4$,即直线的斜率的取值范围是$k\leq - 4$或$k\geq-\frac{1}{4}$。]

(1)(2025·贵阳调研)直线 $ l_1 $，$ l_2 $ 的倾斜角分别为 $ \alpha $，$ \beta $，则“$ \alpha = \beta $”是“$ \tan \alpha = \tan \beta $”的(B)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 训练1
(1)B [
(1)由题意知,$\alpha$,$\beta\in[0,\pi)$,
所以若$\tan\alpha=\tan\beta$,则$\alpha=\beta$；
若$\alpha=\beta=\frac{\pi}{2}$,则不存在$\tan\alpha$,$\tan\beta$,就不可能得到$\tan\alpha=\tan\beta$。
所以“$\alpha=\beta$”是“$\tan\alpha=\tan\beta$”的必要不充分条件。]

(2) 直线 $ l $ 过点 $ P(1, 0) $，且与以 $ A(2, 1) $，$ B(0, \sqrt{3}) $ 为端点的线段有公共点，则直线 $ l $ 斜率的取值范围为 $(-\infty,-\sqrt{3}]\cup[1,+\infty)$；倾斜角的取值范围为 $[\frac{\pi}{4},\frac{2\pi}{3}]$.

答案：

(2)$(-\infty,-\sqrt{3}]\cup[1,+\infty)$
[
(1)由题意知,$\alpha$,$\beta\in[0,\pi)$,
所以若$\tan\alpha=\tan\beta$,则$\alpha=\beta$；
若$\alpha=\beta=\frac{\pi}{2}$,则不存在$\tan\alpha$,$\tan\beta$,就不可能得到$\tan\alpha=\tan\beta$。
所以“$\alpha=\beta$”是“$\tan\alpha=\tan\beta$”的必要不充分条件。
(2)如图,当直线$l$过点$B$时,
设直线$l$的斜率为$k_{1}$,
则$k_{1}=\frac{\sqrt{3}-0}{0 - 1}=-\sqrt{3}$；

当直线$l$过点$A$时,设直线$l$的斜率为$k_{2}$,则$k_{2}=\frac{1 - 0}{2 - 1}=1$,
所以要使直线$l$与线段$AB$有公共点,则直线$l$的斜率的取值范围是$(-\infty,-\sqrt{3}]\cup[1,+\infty)$,倾斜角的取值范围是$[\frac{\pi}{4},\frac{2\pi}{3}]$。]

考点二 直线的方程
例 2 求符合下列条件的直线方程：
(1) 直线过点 $ A(-1, -3) $，且斜率为 $ -\frac{1}{4} $；
(2) 直线过点 $ A(0, -1) $ 和 $ B(-1, 5) $；
(3) 直线过点 $ A(2, 1) $，且横截距为纵截距的两倍.

答案： 例 2 解
(1)
∵所求直线过点$A(-1,-3)$,
且斜率为$-\frac{1}{4}$,
∴所求直线方程为$y + 3=-\frac{1}{4}(x + 1)$,
即$x + 4y + 13 = 0$。
(2)法一(两点式) 由$A(0,-1)$和$B(-1,5)$
得两点式方程为$\frac{y + 1}{5 + 1}=\frac{x - 0}{-1 - 0}$,
整理得$6x + y + 1 = 0$。
法二(点斜式) 由$A(0,-1)$和$B(-1,5)$得$k_{AB}=\frac{5 + 1}{-1 - 0}=-6$,直线方程为$y + 1=-6(x - 0)$,整理得$6x + y + 1 = 0$。
(3)当横截距与纵截距都为$0$时,可设直线方程为$y = kx$,
又直线过点$(2,1)$,
∴$1 = 2k$,解得$k=\frac{1}{2}$,
∴直线方程为$y=\frac{1}{2}x$,即$x - 2y = 0$；
当横截距与纵截距都不为$0$时,可设直线方程为$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$,
由题意可得$\begin{cases}\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1\\a = 2b\end{cases}$,解得$\begin{cases}a = 4\\b = 2\end{cases}$,
∴直线方程为$\frac{x}{4}+\frac{y}{2}=1$,即$x + 2y - 4 = 0$；
综上,所求直线方程为$x - 2y = 0$或$x + 2y - 4 = 0$。