《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

角度 3 测量角度问题
例 4 已知岛 A 南偏西 $38^{\circ}$ 方向，距岛 A 3 海里的 B 处有一艘缉私艇.岛 A 处的一艘走私船正以 10 海里/时的速度向岛屿北偏西 $22^{\circ}$ 方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用 0.5 小时能截住该走私船？
$\left(参考数据:\sin38^{\circ}\approx\dfrac{5\sqrt{3}}{14},\sin22^{\circ}=\dfrac{3\sqrt{3}}{14}\right)$

答案：
例4 解 如图,设缉私艇在C处截住走私船,D为岛A正南方向上一点,缉私艇的速度为每小时x海里,则BC＝0.5x,AC＝5,依题意,AB＝3,∠BAC＝180°－38°－22°＝120°.由余弦定理可得BC²＝AB²＋AC²－2AB·ACcos 120°,所以BC²＝49,所以BC＝0.5x＝7,解得x＝14.又由正弦定理得$\sin∠ABC=\frac{AC\cdot\sin∠BAC}{BC}=\frac{5×\frac{\sqrt{3}}{2}}{7}=\frac{5\sqrt{3}}{14}$,所以∠ABC＝38°,又∠BAD＝38°,所以BC//AD,故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶,恰好用0.5小时截住该走私船.

(1)为加快推进“5G+光网”双千兆城市建设，如图，在某市地面有四个 5G 基站 A，B，C，D.已知基站 C，D 建在某江的南岸，距离为 $10\sqrt{3}$ km；基站 A，B 在江的北岸，测得 $\angle ACB = 75^{\circ}$，$\angle ACD = 120^{\circ}$，$\angle ADC = 30^{\circ}$，$\angle ADB = 45^{\circ}$，则基站 A，B 的距离为(D)


A.$10\sqrt{6}$ km
B.$30(\sqrt{3}-1)$km
C.$30(\sqrt{2}-1)$km
D.$10\sqrt{5}$ km

答案： 训练2
(1)D
(2)$\frac{45\sqrt{3}}{4}$ [
(1)在△ACD中,∠ADC＝30°,∠ACB＝75°,∠ACD＝120°,所以∠BCD＝45°,∠CAD＝30°,∠ADC＝30°,所以AC＝CD＝10$\sqrt{3}$,在△BDC中,∠CBD＝180°－(30°＋45°＋45°)＝60°,由正弦定理得BC＝$\frac{10\sqrt{3}\sin 75°}{\sin 60°}=5\sqrt{2}+5\sqrt{6}$,在△ABC中,由余弦定理得AB²＝AC²＋BC²－2AC·BC·cos∠ACB＝(10$\sqrt{3}$)²＋(5$\sqrt{2}$＋5$\sqrt{6}$)²－2×10$\sqrt{3}$×(5$\sqrt{2}$＋5$\sqrt{6}$)cos 75°＝500,所以AB＝10$\sqrt{5}$,即基站A,B之间的距离为10$\sqrt{5}$km.
(2)由题可得∠ACB＝60°,CD＝22.5,∠ADB＝30°.在Rt△ABC中,AC＝$\frac{AB}{\sin∠ACB}=\frac{2\sqrt{3}}{3}AB$,BC＝$\frac{1}{2}AC=\frac{\sqrt{3}}{3}AB$,在Rt△ABD中,BD＝BC＋CD＝$\frac{\sqrt{3}}{3}AB+22.5$,所以$\tan∠ADB=\frac{AB}{BD}$,即$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{AB}{\frac{\sqrt{3}}{3}AB + 22.5}$,解得AB＝$\frac{45\sqrt{3}}{4}$,所以楼高AB为$\frac{45\sqrt{3}}{4}$米.]

(2)(2025·岳阳质检)岳阳楼地处岳阳古城西门城墙之上，下瞰洞庭，前望君山.因范仲淹的《岳阳楼记》著称于世，自古有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉.小明为了测量岳阳楼的高度 AB，他首先在 C 处，测得楼顶 A 的仰角为 $60^{\circ}$，然后沿 BC 方向行走 22.5 米至 D 处，又测得楼顶 A 的仰角为 $30^{\circ}$，则楼高 AB 为______米.

]

答案： 训练2
(1)D
(2)$\frac{45\sqrt{3}}{4}$ [
(1)在△ACD中,∠ADC＝30°,∠ACB＝75°,∠ACD＝120°,所以∠BCD＝45°,∠CAD＝30°,∠ADC＝30°,所以AC＝CD＝10$\sqrt{3}$,在△BDC中,∠CBD＝180°－(30°＋45°＋45°)＝60°,由正弦定理得BC＝$\frac{10\sqrt{3}\sin 75°}{\sin 60°}=5\sqrt{2}+5\sqrt{6}$,在△ABC中,由余弦定理得AB²＝AC²＋BC²－2AC·BC·cos∠ACB＝(10$\sqrt{3}$)²＋(5$\sqrt{2}$＋5$\sqrt{6}$)²－2×10$\sqrt{3}$×(5$\sqrt{2}$＋5$\sqrt{6}$)cos 75°＝500,所以AB＝10$\sqrt{5}$,即基站A,B之间的距离为10$\sqrt{5}$km.
(2)由题可得∠ACB＝60°,CD＝22.5,∠ADB＝30°.在Rt△ABC中,AC＝$\frac{AB}{\sin∠ACB}=\frac{2\sqrt{3}}{3}AB$,BC＝$\frac{1}{2}AC=\frac{\sqrt{3}}{3}AB$,在Rt△ABD中,BD＝BC＋CD＝$\frac{\sqrt{3}}{3}AB+22.5$,所以$\tan∠ADB=\frac{AB}{BD}$,即$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{AB}{\frac{\sqrt{3}}{3}AB + 22.5}$,解得AB＝$\frac{45\sqrt{3}}{4}$,所以楼高AB为$\frac{45\sqrt{3}}{4}$米.]