《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

1. 平面向量的基本定理

答案： 1.不共线向量 $\lambda_1\boldsymbol{e_1} + \lambda_2\boldsymbol{e_2}$ 不共线

2. 平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.

答案： 2.互相垂直

3. 平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设$a=(x_{1},y_{1})$，$b=(x_{2},y_{2})$，则
$a + b =$(x₁ + x₂, y₁ + y₂)，$a - b =$(x₁ - x₂, y₁ - y₂)，
$\lambda a =$(λx₁, λy₁)，$|a| =$√(x₁² + y₁²).
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，则$\overrightarrow{AB} =$(x₂ - x₁, y₂ - y₁)，$|\overrightarrow{AB}| =$√((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²).

答案： 3.
(1)$(x_1 + x_2, y_1 + y_2)\ (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$
$(\lambda x_1, \lambda y_1)\ \sqrt{x_1^2 + y_1^2}$
(2)②$(x_2 - x_1, y_2 - y_1)$
$\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

4. 平面向量共线的坐标表示
设$a=(x_{1},y_{1})$，$b=(x_{2},y_{2})$，向量$a$，$b(b\neq0)$共线的充要条件是x₁y₂ - x₂y₁ = 0.

答案： 4.$x_1y_2 - x_2y_1 = 0$

1. 思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)设$a$，$b$是平面内的一个基底，若实数$\lambda_{1}$，$\mu_{1}$，$\lambda_{2}$，$\mu_{2}$满足$\lambda_{1}a+\mu_{1}b=\lambda_{2}a+\mu_{2}b$，则$\lambda_{1}=\lambda_{2}$，$\mu_{1}=\mu_{2}$. (√)
(2)若$a=(x_{1},y_{1})$，$b=(x_{2},y_{2})$，则$a// b$的充要条件可以表示成$\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{y_{1}}{y_{2}}$. (×)
(3)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变. (√)

答案： 1.
(1)√　
(2)×　
(3)√　[
(2)若 $\boldsymbol{b} = (0, 0)$，则$\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}$无意义]

2. (人教 A 必修二 P31 例 7 改编)已知$a=(4,2)$，$b=(6,y)$，且$a// b$，则$y =$3.

答案： 2.3 [因为 $\boldsymbol{a} // \boldsymbol{b}$，所以 $4y - 2 × 6 = 0$，解得 $y = 3$.]

3. (人教 B 必修二 P170 例 5 改编)已知平行四边形$ABCD$的顶点$A(-1,-2)$，$B(3,-1)$，$C(5,6)$，则顶点$D$的坐标为(1,5).

答案： 3.(1,5) [设 $D(x, y)$，则 $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$，得 $(3 - (-1), -1 - (-2)) = (4, 1) = (5 - x, 6 - y)$，即$\begin{cases} 4 = 5 - x \\ 1 = 6 - y \end{cases}$，解得$\begin{cases} x = 1 \\ y = 5 \end{cases}$，即 $D(1, 5)$.]

4. (北师大必修二 P100 例 1 改编)如图，在$□ ABCD$中，点$E$，$F$分别为$BC$，$DC$的中点，$\overrightarrow{AB}=a$，$\overrightarrow{AD}=b$，则$\overrightarrow{BF}=$b - 1/2 a，$\overrightarrow{DE}=$a - 1/2 b(用$a$，$b$表示).

答案： 4.$\boldsymbol{b} - \frac{1}{2}\boldsymbol{a}\ \boldsymbol{a} - \frac{1}{2}\boldsymbol{b}$ [根据题意，得$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} = \boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{CF} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = -\frac{1}{2}\boldsymbol{a}$，所以$\overrightarrow{BF} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CF} = \boldsymbol{b} - \frac{1}{2}\boldsymbol{a}$.同理$\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} = \boldsymbol{a} - \frac{1}{2}\boldsymbol{b}$.]

考点一 平面向量基本定理的应用
例 1 (1)(2025·漳州质检)在$\triangle ABC$中，$D$是边$BC$上一点，且$BD = 2DC$，$E$是$AC$的中点，记$\overrightarrow{AC}=m$，$\overrightarrow{AD}=n$，则$\overrightarrow{BE}=$(D)

A.$\frac{5}{3}n - 3m$
B.$\frac{7}{2}n - 3m$
C.$\frac{7}{2}m - 3n$
D.$\frac{5}{2}m - 3n$

答案：

(1)D [
(1)$\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AB}$
$= \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} - (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB})$
　　　　　　　　
$= -\frac{1}{2}\overrightarrow{AC} - 3\overrightarrow{CD}$
$= -\frac{1}{2}\overrightarrow{AC} - 3(\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC})$
$= \frac{5}{2}\overrightarrow{AC} - 3\overrightarrow{AD} = \frac{5}{2}\boldsymbol{m} - 3\boldsymbol{n}$.

(2)(2025·河南名校检测)在$\triangle ABC$中，$\overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{EC}$，$\overrightarrow{BF}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})$，点$P$为$AE$与$BF$的交点，$\overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AC}$，则$\lambda - \mu =$1/4.

答案：
(2)$\frac{1}{4}$
[
(2)因为$\overrightarrow{BF} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC})$，所以 F 为 AC 的中点，由 B, P, F 三点共线，可设$\overrightarrow{BP} = k\overrightarrow{BF} (0 ＜ k ＜ 1)$，即$\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AB} = k(\overrightarrow{AF} - \overrightarrow{AB})$，整理得$\overrightarrow{AP} = k\overrightarrow{AF} + (1 - k)\overrightarrow{AB} = (1 - k)\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}k\overrightarrow{AC}$.因为$\overrightarrow{BE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{EC}$，所以$\overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AE}$，即$\overrightarrow{AE} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AC} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$.由 A, P, E 三点共线，可得$\overrightarrow{AP} = m\overrightarrow{AE} = m(\frac{1}{3}\overrightarrow{AC} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}) = \frac{1}{3}m\overrightarrow{AC} + \frac{2}{3}m\overrightarrow{AB} (0 ＜ m ＜ 1)$，所以$\begin{cases} \frac{2m}{3} = 1 - k \\ \frac{1}{3}m = \frac{1}{2}k \end{cases}$，解得$\begin{cases} k = \frac{2}{5} \\ m = \frac{3}{5} \end{cases}$，可得$\overrightarrow{AP} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$，则$\lambda = \frac{1}{2}$，$\mu = \frac{1}{4}$，$\lambda - \mu = \frac{1}{4}$.]