《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

典例
(2025·厦门模拟)已知$\cos(140^{\circ} - \alpha) + \sin(110^{\circ} + \alpha) = \sin(130^{\circ} - \alpha)$，则$\tan\alpha = $(D)

A.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
B.$-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
C.$\sqrt{3}$
D.$-\sqrt{3}$

答案： 典例D

(1)(2025·九江模拟)已知$\alpha$，$\beta\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$，$\cos(\alpha - \beta) = \dfrac{5}{6}$，$\tan\alpha\cdot\tan\beta = \dfrac{1}{4}$，则$\alpha + \beta = $(A)

A.$\dfrac{\pi}{3}$
B.$\dfrac{\pi}{4}$
C.$\dfrac{\pi}{6}$
D.$\dfrac{2\pi}{3}$

答案： 例4
(1)A

(2)(2025·天津模拟)锐角$\alpha$，$\beta$满足$\alpha + 2\beta = \dfrac{2\pi}{3}$，$\tan\dfrac{\alpha}{2}\tan\beta = 2 - \sqrt{3}$，则$\alpha$和$\beta$中的较小角等于____.

答案： 例4
(2)$\frac{\pi}{6}$

(1)(2024·泰安模拟)若$\cos\left(\dfrac{\pi}{2} + 2\alpha\right) - 4\sin^{2}\alpha = -2$，则$\tan2\alpha = $(C)

A.$-2$
B.$-\dfrac{1}{2}$
C.$2$
D.$\dfrac{1}{2}$

答案： 训练2
(1)C

(2)(2025·成都诊断)已知$\cos(\alpha + 2\beta) = \dfrac{5}{6}$，$\tan(\alpha + \beta)\tan\beta = -4$，写出符合条件的一个角$\alpha$的值为$\frac{2\pi}{3}$.

答案： 训练2
(2)$\frac{2\pi}{3}$（答案不唯一）