《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

考点一 函数 $ y = A\sin(\omega x + \varphi) $ 的图象及变换
例 1 已知 $ f(x) = 2\sin(2x + \frac{\pi}{6}) $，
(1) 作出 $ f(x) $ 在 $ [0,\pi] $ 上的图象（要列表）；
(2) 函数 $ y = f(x) $ 的图象可由函数 $ y = \sin x $ 的图象经过怎样的变换得到？

答案：
例1 解
(1)因为$x \in [0,\pi]$,
所以$2x + \frac{\pi}{6} \in [\frac{\pi}{6},\frac{13\pi}{6}]$
列表如下：
$2x + \frac{\pi}{6}$ $\frac{\pi}{6}$ $\frac{\pi}{2}$ $\pi$ $\frac{3\pi}{2}$ $2\pi$ $\frac{13\pi}{6}$
$x$ $0$ $\frac{\pi}{6}$ $\frac{5\pi}{12}$ $\frac{2\pi}{3}$ $\frac{11\pi}{12}$ $\pi$
$f(x)$ $1$ $2$ $0$ $-2$ $0$ $1$
描点、连线得图象：

(2)将$y = \sin x$的图象上的所有点向左平移$\frac{\pi}{6}$个单位长度,得到函数$y = \sin(x + \frac{\pi}{6})$的图象,再将$y = \sin(x + \frac{\pi}{6})$的图象上所有点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$(纵坐标不变),得到函数$y = \sin(2x + \frac{\pi}{6})$的图象,再将$y = \sin(2x + \frac{\pi}{6})$上所有点的纵坐标伸长2倍(横坐标不变),得到$f(x) = 2\sin(2x + \frac{\pi}{6})$的图象.

(1)(2025·济南质检)为了得到函数 $ y = 2\cos(2x - \frac{2\pi}{3}) $ 的图象，只需将函数 $ y = 2\sin x $(A)

A.图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $ \frac{1}{2} $，纵坐标不变，再向右平移 $ \frac{\pi}{12} $ 个单位长度
B.图象上所有点的横坐标伸长到原来的 $ 2 $ 倍，纵坐标不变，再向左平移 $ \frac{\pi}{12} $ 个单位长度
C.图象向右平移 $ \frac{\pi}{3} $ 个单位长度，再将所有点的横坐标伸长到原来的 $ 2 $ 倍，纵坐标不变
D.图象向左平移 $ \frac{\pi}{6} $ 个单位长度，再将所有点的横坐标缩短到原来的 $ \frac{1}{2} $，纵坐标不变

答案：
(1)A [
(1)$y = 2\sin x$
$= 2\cos(x - \frac{\pi}{2})$,
将$y = 2\cos(x - \frac{\pi}{2})$的图象上所有点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$,纵坐标不变,
得到函数$y = 2\cos(2x - \frac{\pi}{2})$的图象,
再将所得图象向右平移$\frac{\pi}{12}$个单位长度,
得到函数$y = 2\cos[2(x - \frac{\pi}{12}) - \frac{\pi}{2}]$
$= 2\cos(2x - \frac{2\pi}{3})$的图象,故A正确;B错误;
或将函数$y = 2\cos(x - \frac{\pi}{2})$的图象向右平移$\frac{\pi}{6}$个单位长度,得到函数$y = 2\cos(x - \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{2}) = 2\cos(x - \frac{2\pi}{3})$的图象,
再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$,得到函数$y = 2\cos(2x - \frac{2\pi}{3})$的图象,故C,D错误.]

(2)(2024·新高考Ⅰ卷)当 $ x \in [0,2\pi] $ 时，曲线 $ y = \sin x $ 与 $ y = 2\sin(3x - \frac{\pi}{6}) $ 的交点个数为(C)

A.$ 3 $
B.$ 4 $
C.$ 6 $
D.$ 8 $

答案：

(2)C [
(2)因为函数$y = 2\sin(3x - \frac{\pi}{6})$的最小正周期$T = \frac{2\pi}{3}$,
所以函数$y = 2\sin(3x - \frac{\pi}{6})$在$[0,2\pi]$上的图象恰好是三个周期的图象,
所以作出函数$y = 2\sin(3x - \frac{\pi}{6})$与$y = \sin x$在$[0,2\pi]$上的图象如图所示,

由图可知,这两个图象共有6个交点,故选C.]

(1)(2025·河南名校调研)已知函数 $ f(x) = A\sin(\omega x + \varphi)(A ＞ 0,\omega ＞ 0) $ 的部分图象如图，则 $ f(\frac{\pi}{3}) = $(B)


A.$ -1 $
B.$ -\sqrt{2} $
C.$ -\sqrt{3} $
D.$ -2 $

答案：
(1)B [
(1)由题图可知,$A = 2$,
设函数$f(x)$的最小正周期为$T$,
则$\frac{T}{4} = \frac{\pi}{12} - (-\frac{\pi}{12}) = \frac{\pi}{6}$,
所以$T = \frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi}{\omega}$,
解得$\omega = 3$,则$f(x) = 2\sin(3x + \varphi)$.
由$f(-\frac{\pi}{12}) = 2\sin(-\frac{\pi}{4} + \varphi) = 2$,
可取$\varphi = \frac{3\pi}{4}$,则$f(x) = 2\sin(3x + \frac{3\pi}{4})$,
$f(\frac{\pi}{3}) = 2\sin(3 × \frac{\pi}{3} + \frac{3\pi}{4})$
$= 2\sin\frac{7\pi}{4} = -\sqrt{2}$.]

(2)(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数 $ f(x) = \sin(\omega x + \varphi) $，如图，$ A,B $ 是直线 $ y = \frac{1}{2} $ 与曲线 $ y = f(x) $ 的两个交点，若 $ |AB| = \frac{\pi}{6} $，则 $ f(\pi) =$$-\frac{\sqrt{3}}{2}$$$ 。

答案：
(2)$-\frac{\sqrt{3}}{2}$ [
(2)对比正弦函数$y = \sin x$的图象易知,
点$(\frac{2\pi}{3},0)$为“五点(画图)法”中的第五点,
所以$\frac{2\pi}{3}\omega + \varphi = 2k\pi,k \in \mathbf{Z}$ ①
由题知$|AB| = x_B - x_A = \frac{\pi}{6}$,
$\omega x_A + \varphi = \frac{\pi}{6}$,
$\omega x_B + \varphi = \frac{5\pi}{6}$,
两式相减,得$\omega(x_B - x_A) = \frac{4\pi}{6}$,即$\frac{\pi}{6}\omega = \frac{4\pi}{6}$,
解得$\omega = 4$.
代入①,得$\varphi = 2k\pi - \frac{8\pi}{3},k \in \mathbf{Z}$,所以$f(\pi) =$
$\sin(4\pi + 2k\pi - \frac{8\pi}{3}) = \sin\frac{4\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.]