《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

例1(1)设$a = 0.6^{0.3}$，$b = 0.3^{0.3}$，$c = 0.3^{0.6}$，则$a$，$b$，$c$的大小关系为(D)

A.$b ＜ a ＜ c$
B.$b ＜ c ＜ a$
C.$a ＜ b ＜ c$
D.$c ＜ b ＜ a$

答案：
(1)D

(2)(2024·滁州三模)若$a = \log_37$，$b = \log_940$，$c = \sqrt{4.05}$，则(D)

A.$c ＜ a ＜ b$
B.$b ＜ c ＜ a$
C.$a ＜ b ＜ c$
D.$b ＜ a ＜ c$

答案：
(2)D [
(1)因为指数函数$y=0.3^{x}$在R上为单调递减函数，所以$0.3^{0.3}＞0.3^{0.5}$，即$b＞c$，又幂函数$y=x^{0.3}$在$[0,+\infty)$上为增函数，所以$0.6^{0.3}＞0.3^{0.3}$，即$a＞b$，所以$a＞b＞c$.
(2)依题意，$a=\log_{3}7=\log_{9}49$，故$a＞b$；而$a＜\log_{3}9=2＜c$，故$b＜a＜c$，故选D.]

训练1(1)(2025·广州模拟)已知$a = (\frac{1}{2})^{-1.1}$，$b = 4^{0.6}$，$c = \log_38$，则$a$，$b$，$c$的大小关系为(C)
A.$a ＜ c ＜ b$
B.$b ＜ c ＜ a$
C.$c ＜ a ＜ b$
D.$c ＜ b ＜ a$

答案：
(1)C

(2)(2025·北京延庆模拟)设$a = \log_32$，$b = \log_96$，$c = \frac{1}{2}$，则(D)
A.$a ＞ b ＞ c$
B.$c ＞ b ＞ a$
C.$b ＞ c ＞ a$
D.$b ＞ a ＞ c$

答案：
(2)D[
(1)由于$a=(\frac{1}{2})^{-1.1}=2^{1.1}＞2$，$b=4^{0.5}=2^{1.2}＞2^{1.1}=a＞2$，$c=\log_{3}8＜\log_{3}9=2$，所以$c＜a＜b$.
(2)因为$b=\log_{3}6=\log_{32}(\sqrt{6})^{2}=\log_{\sqrt{3}}\sqrt{6}$，且$c=\frac{1}{2}=\log_{\sqrt{3}}\sqrt{3}$，又$\sqrt{3}＜2＜\sqrt{6}$，函数$y=\log_{\sqrt{3}}x$在$(0,+\infty)$上单调递增，则$\log_{\sqrt{3}}\sqrt{3}＜\log_{\sqrt{3}}2＜\log_{\sqrt{3}}\sqrt{6}$，所以$c＜a＜b$.]

典例 已知$a = 3\log_83$，$b = -\frac{1}{2}\log_{\frac{1}{3}}16$，$c = \log_45$，则$a$，$b$，$c$的大小关系为(A)

A.$a ＞ b ＞ c$
B.$c ＞ a ＞ b$
C.$a ＞ c ＞ b$
D.$c ＞ b ＞ a$

答案： 典例A [法一 $a=3\log_{8}3=\log_{8}27=\log_{23}3^{3}=\log_{2}3$，$b=-\frac{1}{2}\log_{\frac{1}{2}}16=\frac{1}{2}\log_{2}16=\log_{2}4$，对任意$x＞y＞0,m＞0$，$\frac{x}{y}-\frac{x + m}{y + m}=\frac{x(y + m)-y(x + m)}{y(y + m)}$$=\frac{(x - y)m}{y(y + m)}＞0$，即$\frac{x}{y}＞\frac{x + m}{y + m}$.所以$a=\log_{2}3=\frac{\lg3}{\lg2}＞\frac{\lg3+\lg\frac{3}{2}}{\lg2+\lg\frac{3}{2}}=\frac{\lg\frac{9}{2}}{\lg3}$，即$a=\log_{3}\frac{9}{2}＞\log_{3}4$，即$a＞b,b=\log_{3}4=\frac{\lg4}{\lg3}＞\frac{\lg4+\lg\frac{4}{3}}{\lg3+\lg\frac{4}{3}}=\frac{\lg\frac{16}{3}}{\lg4}$$=\log_{4}\frac{16}{3}＞\log_{4}5$，即$b＞c$，所以$a＞b＞c$.法二 $a=3\log_{8}3=\log_{8}27=\log_{3}3^{3}=\log_{3}3$，$b=-\frac{1}{2}\log_{\frac{1}{2}}16=\frac{1}{2}\log_{2}16=\log_{3}4,c=\log_{3}5$，利用对数型糖水不等式得$\log_{3}3＞\log_{3}4＞\log_{3}5$，即$a＞b＞c$.]