《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

1. 函数的单调性与导数的关系

答案： 1.单调递增 单调递减 常数函数

2. 利用导数判断函数单调性的步骤
第 1 步,确定函数的 定义域；
第 2 步,求出导函数 $ f'(x) $ 的 零点；
第 3 步,用 $ f'(x) $ 的零点将 $ f(x) $ 的定义域划分为若干个区间,列表给出 $ f'(x) $ 在各区间上的正负,由此得出函数 $ y = f(x) $ 在定义域内的单调性.

答案： 2.定义域 零点

1. 思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数 $ f(x) $ 在 $ (a,b) $ 内单调递增,那么一定有 $ f'(x) ＞ 0 $. (×)
(2)在 $ (a,b) $ 内 $ f'(x) \leq 0 $ 且 $ f'(x) = 0 $ 的根为有限个,则 $ f(x) $ 在 $ (a,b) $ 内单调递减. (√)
(3)若函数 $ f(x) $ 在定义域上都有 $ f'(x) ＞ 0 $,则 $ f(x) $ 在定义域上一定单调递增. (×)
(4)函数 $ f(x) = x - \sin x $ 在 $ \mathbf{R} $ 上是增函数.(√)

答案： 1.
(1)×
(2)√
(3)×
(4)√ [
(1)f(x)在(a,b)内单调递增,则$f^{\prime}(x)\geq0.$
(3)反例$,f(x)=-\frac{1}{x},$虽然$f^{\prime}(x)=\frac{1}{x^{2}}＞0,$
但$f(x)=-\frac{1}{x}$在其定义域$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$上不具有单调性.]

2. (人教 B 选修三 P95A 组 T1 改编)已知函数 $ f(x) $ 的定义域为 $[0,2]$,且 $ y = f'(x) $ 的图象如图所示,则 $ f(x) $ 的单调递增区间是 (0,1),单调递减区间是 (1,2).

答案： 2.(0,1) (1,2) [由图知,当$x\in(0,1)$时$,f^{\prime}(x)＞0,$当$x\in(1,2)$时$,f^{\prime}(x)＜0,$
故f(x)的单调递增区间是(0,1),
单调递减区间是(1,2).]

$3. ($人教$ A $选修二$ P101 $习题$ T3 $改编$)$函数$ f(x) = x^3 + 2x^2 - 4x $的单调递增区间是$ $　　$(-\infty,-2),(\frac{2}{3},+\infty)$　　$.$　　

答案： $3.(-\infty,-2),(\frac{2}{3},+\infty) [$由$f^{\prime}(x)=3x^{2}+4x - 4=(3x - 2)(x + 2)＞0,$
得x＜-2或x＞$\frac{2}{3},$故f(x)的单调递增区间为$(-\infty,-2),(\frac{2}{3},+\infty).]$

4. (苏教选修一 P213 例 2 改编)若函数 $ f(x) = x^3 + ax^2 - ax $ 在 $ \mathbf{R} $ 上单调递增,则实数 $ a $ 的取值范围是 [-3,0].

答案： $4.[-3,0] [f^{\prime}(x)=3x^{2}+2ax - a\geq0$在$\mathbf{R}$上恒成立,所以$4a^{2}+12a\leq0,$解得$-3\leq a\leq0.]$

考点一 不含参函数的单调性

例 1 (1)设函数 $ f(x) $ 在定义域内可导, $ f(x) $ 的图象如图所示,则其导函数 $ f'(x) $ 的图象可能是 (A)

答案： 例1
(1)A [
(1)由f(x)的图象可知,当$x\in(-\infty,0)$时,函数f(x)单调递增,
则$f^{\prime}(x)\geq0,$故排除C,D;
当$x\in(0,+\infty)$时,函数f(x)先单调递减、再单调递增最后单调递减,
则导函数值$f^{\prime}(x)$应先小于0,再大于0,最后小于0,故排除B,选A.]