《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

1. 思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)$\frac{x - a}{x - b} \geq 0$等价于$(x - a)(x - b) \geq 0$. (×)
(2)若不等式$ax^{2} + bx + c ＜ 0$的解集为$(x_{1},x_{2})$，则必有$a ＞ 0$. (√)
(3)不等式$x^{2} \leq a$的解集为$[-\sqrt{a},\sqrt{a}]$. (×)
(4)若方程$ax^{2} + bx + c = 0(a ＜ 0)$没有实数根，则不等式$ax^{2} + bx + c ＞ 0(a ＜ 0)$的解集为$\mathbf{R}$. (×)

答案： 1.
(1)$×$
(2)$\surd$
(3)$×$
(4)$×$ [
(1)错误.$\frac{x-a}{x-b}\geq0$等价于$(x-a)(x-b)\geq0$且$x\neq b$.
(3)错误.当$a=0$时，其解集为$\{0\}$；当$a＜0$时，其解集为$\varnothing$.
(4)若方程$ax^2+bx+c=0(a＜0)$没有实根，则不等式$ax^2+bx+c＞0(a＜0)$的解集为$\varnothing$.]

2. (人教 A 必修一 P53 练习 T1 改编)不等式$-2x^{2} + x \leq -3$的解集为.$(-\infty,-1]\cup[\frac{3}{2},+\infty)$

答案： 2.$(-\infty,-1]\cup[\frac{3}{2},+\infty)$ [由$-2x^2+x\leq -3$可得$2x^2-x-3\geq0$，即$(2x-3)(x+1)\geq0$，得$x\leq -1$或$x\geq \frac{3}{2}$，故不等式的解集为$(-\infty,-1]\cup[\frac{3}{2},+\infty)$.]

3. (北师大必修一 P41T1 改编)若不等式$x^{2} + ax + b ＞ 0$的解集为$(-\infty, -1)\cup (2, +\infty)$，则$a + b =$.-3

答案： 3.-3 [由题意可得$-a=-1+2,b=(-1)×2$，即$a=-1,b=-2$，故$a+b=-3$.]

4. (苏教必修一 P69T11(2)改编)若一元二次不等式$2kx^{2} + kx - \frac{3}{8} ＜ 0$对一切实数$x$都成立，则实数$k$的取值范围是.$(-3,0)$

答案： 4.$(-3,0)$ [由题意知$\begin{cases}k＜0,\\\Delta=k^2-4×2k×(-\frac{3}{8})＜0.\end{cases}$解得$-3＜k＜0$.]

考点一 三个二次之间的关系
例 1 (多选)已知关于$x$的不等式$ax^{2} + bx + c ＞ 0$的解集为$(-\infty, -2)\cup (3, +\infty)$，则 (ACD)

A.$a ＞ 0$
B.$a + b + c ＞ 0$
C.不等式$bx + c ＞ 0$的解集是$\{x|x ＜ -6\}$
D.不等式$cx^{2} - bx + a ＜ 0$的解集为$(-\infty, -\frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{2}, +\infty)$

答案： 例1 ACD [$\because$关于$x$的不等式$ax^{2} + bx + c ＞ 0$的解集为$(-\infty, -2)\cup (3, +\infty)$，$\therefore a＞0$,A正确；$-2$和$3$是关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$的两根，由根与系数的关系得$\begin{cases}-2+3=-\frac{b}{a},\\-2×3=\frac{c}{a}.\end{cases}$则$\begin{cases}b=-a,\\c=-6a.\end{cases}\therefore a+b+c=-6a＜0$,B错误；不等式$bx + c ＞ 0$可化为$-ax-6a＞0$，得$x＜-6$,C正确；不等式$cx^{2} - bx + a ＜ 0$可化为$-6ax^2+ax+a＜0$，即$6x^2-x-1＞0$，解得$x＜-\frac{1}{3}$或$x＞\frac{1}{2}$,D正确.故选ACD.]

训练 1 (多选)已知关于$x$的不等式$a(x + 1)\cdot (x - 3) + 1 ＞ 0(a \neq 0)$的解集是$(x_{1},x_{2})(x_{1} ＜ x_{2})$，则下列结论正确的是 (ABD)

A.$x_{1} + x_{2} = 2$
B.$x_{1}x_{2} ＜ -3$
C.$-1 ＜ x_{1} ＜ x_{2} ＜ 3$
D.$x_{2} - x_{1} ＞ 4$

答案： 训练1 ABD [由题意得,$a＜0$,且$x_1,x_2$是一元二次方程$a(x+1)(x-3)+1=0$，即$ax^2-2ax+1-3a=0$的两根，所以$x_1+x_2=\frac{2a}{a}=2$,故A正确；$x_1x_2=\frac{1-3a}{a}=\frac{1}{a}-3＜-3$,故B正确；$x_2-x_1=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}$ $=\sqrt{4-4×\frac{1-3a}{a}}=2\sqrt{4-\frac{1}{a}}＞4$，故D正确；由$x_2-x_1＞4$，可得$-1＜x_1＜x_2＜3$是错误的，故C错误.]

考点二 不等式的解法
例 2 (1)(多选)下列选项中，正确的是 (ABD)

A.不等式$x^{2} + x - 2 ＞ 0$的解集为$\{x|x ＜ -2$或$x ＞ 1\}$
B.不等式$\frac{2x + 1}{x - 2} \leq 1$的解集为$\{x|-3 \leq x ＜ 2\}$
C.不等式$\vert x - 2\vert \geq 1$的解集为$\{x|1 \leq x \leq 3\}$
D.设$x \in \mathbf{R}$，则“$\vert x - 1\vert ＜ 1$”是“$\frac{x + 4}{x - 5} ＜ 0$”的充分不必要条件

答案： 例2
(1)ABD [因为方程$x^2+x-2=0$的解为$x=1,x_2=-2$，所以不等式$x^2+x-2＞0$的解集为$\{x|x＜-2$或$x＞1\}$,故A正确；因为$\frac{2x+1}{x-2}-1\leq0$，即$\frac{x+3}{x-2}\leq0$，即$(x+3)(x-2)\leq0(x-2\neq0)$，解得$-3\leq x＜2$，所以不等式的解集为$\{x|-3\leq x＜2\}$,故B正确；由$|x-2|\geq1$，可得$x-2\leq-1$或$x-2\geq1$，解得$x\leq1$或$x\geq3$，所以不等式的解集为$\{x|x\leq1$或$x\geq3\}$,故C错误；由$|x-1|＜1$，可得$-1＜x-1＜1$，解得$0＜x＜2$,由$\frac{x+4}{x-5}＜0$，可得$-4＜x＜5$，因此，“$|x-1|＜1$”是“$\frac{x+4}{x-5}＜0$”的充分不必要条件，故D正确.]

(2)解关于$x$的不等式$ax^{2} - (a + 1)x + 1 ＜ 0(a \in \mathbf{R})$.

答案：
(2)解 原不等式变为$(ax-1)(x-1)＜0$，①当$a＞0$时，原不等式可化为$(x-\frac{1}{a})(x-1)＜0$，所以当$a＞1$时，解得$\frac{1}{a}＜x＜1$；当$a=1$时，解集为$\varnothing$；当$0＜a＜1$时，解得$1＜x＜\frac{1}{a}$；综上，当$0＜a＜1$时，不等式的解集为$\{x|1＜x＜\frac{1}{a}\}$；当$a=1$时，不等式的解集为$\{x|x＞1\}$；当$a＜0$时，不等式的解集为$\{x|x＜\frac{1}{a}$,或$x＞1\}$.