《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

1. 函数的奇偶性

答案： 1.$f(-x)=f(x)$ $y$轴 $f(-x)=-f(x)$ 原点

2. 周期性
(1)周期函数：一般地，设函数 $ f(x) $ 的定义域为 $ D $，如果存在一个非零常数 $ T $，使得对每一个 $ x \in D $ 都有 $ x + T \in D $，且$f(x + T)=f(x)$，那么函数 $ y = f(x) $ 就叫做周期函数，非零常数 $ T $ 叫做这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数 $ f(x) $ 的所有周期中存在一个________的正数，那么这个________就叫做 $ f(x) $ 的最小正周期.

答案： 2.
(1)$f(x + T)=f(x)$
(2)最小 最小正数

1. 思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数 $ y = x^2 $ 在 $ x \in (0, +\infty) $ 上是偶函数. (×)
(2)若函数 $ f(x) $ 为奇函数，则一定有 $ f(0) = 0 $. (×)
(3)若 $ T $ 是函数 $ f(x) $ 的一个周期，且 $ f(x) $ 的定义域为 $ \mathbf{R} $，则 $ nT(n \in \mathbf{Z}, n \neq 0) $ 也是函数 $ f(x) $ 的周期. (√)
(4)对于函数 $ y = f(x) $，若存在 $ x $，使 $ f(-x) = -f(x) $，则函数 $ y = f(x) $ 一定是奇函数. (×)

答案： 1.
(1)$×$
(2)$×$
(3)$\surd$
(4)$×$ [
(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故$y = x^{2}$在$(0, +\infty)$上不具有奇偶性，
(1)错误.
(2)由奇函数定义可知，若$f(x)$为奇函数，且在$x = 0$处有意义时才满足$f(0)=0$，
(2)错误.
(4)反例:$f(x)=x^{3},x\in[-3,5]$，存在$x = 1$，使$f(-1)=-f(1)$，但$f(x)$既不是奇函数，也不是偶函数，
(4)错误.]

2.(苏教必修一 P124 例 1 改编)(多选)给出下列函数，其中是奇函数的有(BC)

A.$ f(x) = x^4 $
B.$ f(x) = x^5 $
C.$ f(x) = x + \frac{1}{x} $
D.$ f(x) = \frac{1}{x^2} $

答案： 2.BC [对于$f(x)=x^{4}$，$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，
由$f(-x)=(-x)^{4}=x^{4}=f(x)$，
可知$f(x)=x^{4}$是偶函数，
同理可知$f(x)=x^{5}$，$f(x)=x+\frac{1}{x}$是奇函数，$f(x)=\frac{1}{x^{2}}$是偶函数.]

3.(人教 A 必修一 P85 练习 T1 改编)设奇函数 $ f(x) $ 的定义域为 $ [-5, 5] $，若当 $ x \in [0, 5] $ 时，$ f(x) $ 的图象如图所示，则不等式 $ f(x) ＜ 0 $ 的解集为$(-2,0)\cup(2,5]$.

答案： 3.$(-2,0)\cup(2,5]$ [由图象可知，当$0＜x＜2$时，$f(x)＞0$；
当$2＜x\leq5$时，$f(x)＜0$，又$f(x)$是奇函数，$\therefore$当$-2＜x＜0$时，$f(x)＜0$，
当$-5\leq x＜-2$时，$f(x)＞0$.
综上，$f(x)＜0$的解集为$(-2,0)\cup(2,5]$.]

4. 已知函数 $ f(x) $ 是定义在 $ \mathbf{R} $ 上的周期为 4 的奇函数，若 $ f(-1) = 1 $，则 $ f(2025) = $$-1$.

答案： 4.$-1$ [因为函数$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的周期为4的奇函数，所以$f(2025)=f(506×4 + 1)=f(1)=-f(-1)=-1$.]