《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

1. 思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线. ()
(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥. ()
(3)菱形的直观图仍是菱形. ()
(4)两个球的体积之比等于它们的半径比的平方. ()

答案：
1.
(1)×　
(2)×　
(3)×　
(4)×　[
(1)不一定,只有当这两点的连线平行于轴时才是母线,
(1)错误.
(2)反例:如图所示的图形满足条件但不是棱锥,
(2)错误.
　　　　　　　　　　
(3)用斜二测画法画水平放置的菱形的直观图是平行四边形,但邻边不一定相等,
(3)错误.
(4)球的体积之比等于半径比的立方,故
(4)错误.]

2. (人教 A 必修二 P106T8 改编)如图，长方体 $ ABCD - A'B'C'D' $ 被截去一部分，其中 $ EH // A'D' // FG $，则剩下的几何体是 (C)


A.棱台
B.四棱柱
C.五棱柱
D.六棱柱

答案： 2.C　[由于平面$ABFEA' //$平面$DCGHD'$,且$AD,BC,FG,EH,A'D'$相互平行且相等,所以剩下的几何体是五棱柱.]

3. (苏教必修二 P161 练习 T4 改编)下列说法正确的是 (D)

A.相等的角在直观图中仍然相等
B.相等的线段在直观图中仍然相等
C.正方形的直观图是正方形
D.若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行

答案： 3.D　[由直观图的画法规则知,角度、长度都有可能改变，而线段的平行关系不变，正方形的直观图是平行四边形.]

4. 已知圆锥的底面半径为 $ \sqrt{2} $，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为2√2.

答案： 4.$2\sqrt{2}$　[设圆锥的母线长为$l$,因为该圆锥的底面半径为$\sqrt{2}$,侧面展开图为一个半圆,所以$2\pi × \sqrt{2} = \pi l$,解得$l = 2\sqrt{2}$.]

例 1 (多选)下列说法中正确的是 (AD)

A.以直角梯形垂直于底面的腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台
B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱
C.底面是正多边形的棱锥是正棱锥
D.棱台的各侧棱延长后必交于一点

答案： 例1 AD [由圆台定义知,以直角梯形垂直于底边的腰为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面围成的旋转体是圆台,故A正确；由棱柱定义可知，棱柱是有两个面平行，其余各面都是平行四边形，且每相邻两个平行四边形的公共边都互相平行的几何体，故B错误；底面是正多边形的棱锥，但不能保证顶点在底面上的射影为底面正多边形的中心，故C错误；棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的,故棱台的各侧棱延长后必交于一点,故D正确.]

例 2 如图，矩形 $ O'A'B'C' $ 是水平放置的一个平面图形的直观图，其中 $ O'A' = 6 \, cm $，$ O'C' = 2 \, cm $，$ C'D' = 2 \, cm $，则原图形的形状是____，其面积为____ $ cm^2 $.

答案：
例2 菱形　$24\sqrt{2}$　[如图,在原图形$OABC$中,
$OA = O'A' = 6cm$,
　　　　　　　　　　　
$OD = 2O'D' = 2 × 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}(cm)$,
$CD = C'D' = 2cm$,
所以$OC = \sqrt{OD^{2} + CD^{2}} = \sqrt{(4\sqrt{2})^{2} + 2^{2}} = 6(cm)$,
所以$OA = OC = BC = AB$,
故四边形$OABC$是菱形,
$S_{菱形OABC} = OA × OD = 6 × 4\sqrt{2} = 24\sqrt{2}(cm^{2})$.]