《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

1. 特殊数列的求和公式
(1)等差数列的前$n$项和公式：
$S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}=$na_1+\frac{n(n - 1)}{2}d.
(2)等比数列的前$n$项和公式：
$S_{n}=\begin{cases}na_{1},q = 1,\frac{a_{1}-a_{n}q}{1 - q}=\end{cases}$\frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q},q\neq1.
2. 数列求和的几种常用方法
(1)分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.
(2)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.
(3)错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前$n$项和可用错位相减法求解.
(4)倒序相加法
如果一个数列$\{a_{n}\}$中，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前$n$项和可用倒序相加法求解.

答案： 1.
(1)$na_1+\frac{n(n - 1)}{2}d$
(2)$\frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q},q\neq1$

1. 思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)若数列$\{a_{n}\}$为等比数列，且公比不等于$1$，则其前$n$项和$S_{n}=\frac{a_{1}-a_{n + 1}}{1 - q}$. (√)
(2)当$n\geq2$时，$\frac{1}{n^{2}-1}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n - 1}-\frac{1}{n + 1})$. (√)
(3)求$S_{n}=a + 2a^{2}+3a^{3}+\cdots + na^{n}$时，只要把上式等号两边同时乘以$a$即可根据错位相减法求和. (×)
(4)若数列$a_{1},a_{2}-a_{1},\cdots,a_{n}-a_{n - 1}$是首项为$1$，公比为$3$的等比数列，则数列$\{a_{n}\}$的通项公式是$a_{n}=\frac{3^{n}-1}{2}$. (√)

答案： 1.
(1)√
(2)√
(3)×
(4)√ [
(3)要分$a = 0$或$a = 1$或$a\neq0$且$a\neq1$讨论求解.]

2. (苏教选修一 P181T11(1)改编)数列$\{a_{n}\}$中，$a_{n}=\frac{1}{n(n + 1)}$，则数列$\{a_{n}\}$的前$2026$项和$S_{2026}=$\frac{2026}{2027}.

答案： 2.$\frac{2026}{2027}$ [由题意得$a_n=\frac{1}{n(n + 1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}$，故$S_{2026}=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\cdots+(\frac{1}{2026}-\frac{1}{2027})=1-\frac{1}{2027}=\frac{2026}{2027}$.]

3. (人教 A 选修二 P40 习题 T3(1)改编)已知$a_{n}=2^{n}+n$，则数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}=$2^{n + 1}-2+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{2}n.

答案： 3.$2^{n + 1}-2+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{2}n$ [$S_n=(2 + 2^2+\cdots+2^n)+(1 + 2+\cdots+n)=\frac{2(1 - 2^n)}{1 - 2}+\frac{1}{2}n(n + 1)=2^{n + 1}-2+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{2}n$.]

4. (人教 B 选修三 P44T1 改编)数列$\{(n + 3)\cdot2^{n - 1}\}$前$20$项的和为22×2^{20}-2.

答案： 4.$22×2^{20}-2$ [$S_{20}=4×1 + 5×2^1+6×2^2+\cdots+23×2^{19}$,$2S_{20}=4×2 + 5×2^2+6×2^3+\cdots+23×2^{20}$，两式相减，得$-S_{20}=4 + 2+2^2+\cdots+2^{19}-23×2^{20}=4+\frac{2(1 - 2^{19})}{1 - 2}-23×2^{20}=-22×2^{20}+2$，故$S_{20}=22×2^{20}-2$.]