《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

例 3 (2024·新高考Ⅱ卷)已知曲线 $ C:x^2 + y^2 = 16(y ＞ 0) $，从 $ C $ 上任意一点 $ P $ 向 $ x $ 轴作垂线段 $ PP' $，$ P' $ 为垂足，则线段 $ PP' $ 的中点 $ M $ 的轨迹方程为(A)

A.$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1(y ＞ 0)$
B.$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{8} = 1(y ＞ 0)$
C.$\frac{y^2}{16} + \frac{x^2}{4} = 1(y ＞ 0)$
D.$\frac{y^2}{16} + \frac{x^2}{8} = 1(y ＞ 0)$

答案： 例3 A [法一 由题意可知把曲线$C$上所有点的纵坐标缩短至原来的一半，横坐标不变，即可得到点$M$的轨迹。
曲线$C$为半圆，则点$M$的轨迹为椭圆（$x$轴上方部分），其中长半轴长为$4$，短半轴长为$2$，故选A。
法二 设$M(x,y)$，$P(x_0,y_0)$，
则$P'(x_0,0)$，由中点坐标公式得
$\begin{cases}x = x_0,\\y=\frac{y_0}{2}.\end{cases}$即$\begin{cases}x_0 = x,\\y_0 = 2y.\end{cases}$
$\because x_0^{2}+y_0^{2}=16(y_0＞0)$，
$\therefore x^{2}+(2y)^{2}=16(y＞0)$，
即$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1(y＞0)$。]

训练 3 (2025·内江模拟)已知面积为 16 的正方形 $ ABCD $ 的顶点 $ A $，$ B $ 分别在 $ x $ 轴和 $ y $ 轴上滑动，$ O $ 为坐标原点，$\overrightarrow{OP} = \frac{3}{4}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OB}$，则动点 $ P $ 的轨迹方程是(B)

A.$\frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{2} = 1$
B.$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$
C.$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{8} = 1$
D.$\frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{4} = 1$

答案： 训练3 B [设$P(x,y)$，不妨令$A(x_1,0)$，$B(0,y_2)$，正方形$ABCD$的面积为$16$，
则$\vert AB\vert=4$，则$x_1^{2}+y_2^{2}=16$，
由$\overrightarrow{OP}=\frac{3}{4}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}$，
可得$\begin{cases}x=\frac{3}{4}x_1,\\y=\frac{1}{2}y_2.\end{cases}$即$\begin{cases}x_1=\frac{4}{3}x,\\y_2 = 2y.\end{cases}$
则$(\frac{4x}{3})^{2}+(2y)^{2}=16$，整理得$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$。]

例 4 (2025·兰州模拟)变量 $ x,y $ 满足 $\begin{cases}x = \sqrt{t}\\y = 2\sqrt{1 - t}\end{cases}$（$ t $ 为参数），则代数式 $\frac{y + 2}{x + 2}$ 的取值范围是________。

答案：
例4 $[\frac{2}{3},2]$ [由$\begin{cases}x=\sqrt{t},\\y = 2\sqrt{1 - t}.\end{cases}$
消去参数$t$可得$x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1(x\geq0,y\geq0)$，则$M(x,y)$的轨迹为椭圆在第一象限的部分（包含与坐标轴的交点），
$\frac{y + 2}{x + 2}=\frac{y-(-2)}{x-(-2)}$可看成点$A(-2,-2)$与点$M(x,y)$连线斜率，
如图，$B(1,0)$，$C(0,2)$，

$\therefore k_{AB}=\frac{0 + 2}{1 + 2}=\frac{2}{3}$，$k_{AC}=\frac{2 + 2}{0 + 2}=2$，
则$\frac{y + 2}{x + 2}\in[\frac{2}{3},2]$。]

训练 4 已知曲线 $ C $ 满足 $\begin{cases}x = 2\cos\theta\\y = 3\sin\theta\end{cases}$（$\theta$ 为参数），$ P $ 为 $ C $ 上一点，$ A(0,\sqrt{5}) $，则 $ P $ 与 $ A $ 的最小距离为________。

答案： 训练4 $3-\sqrt{5}$ [消参，利用$\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta =(\frac{x}{2})^{2}+(\frac{y}{3})^{2}=1$，得$\frac{y^{2}}{9}+\frac{x^{2}}{4}=1$，
曲线$C$为以$(0,\pm\sqrt{5})$为焦点的椭圆，
$\vert PA\vert_{\min}=a - c=3-\sqrt{5}$。]