《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

1. 思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1) 任何一个集合都至少有两个子集。(×)
(2) {x | y = x² + 1} = {y | y = x² + 1} = {(x, y) | y = x² + 1}。(×)
(3) 若1 ∈ {x², x}，则x = -1或1。(×)
(4) 对于任意两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)恒成立。(√)

答案： 1.
(1)×　
(2)×　
(3)×　
(4)√ [
(1)错误.空集只有一个子集.
(2)错误.{x|y = x² + 1}=R,{y|y = x² + 1}=[1,+∞),{(x,y)|y = x² + 1}是抛物线y = x² + 1上的点集.
(3)错误.当x = 1时,不满足集合中元素的互异性.]

2. (人教B必修一P9练习BT4改编)已知集合A = {x - 2，x + 5，12}，且 - 3 ∈ A，则x = -1或-8。

答案： 2.-1或-8 [若x - 2 = -3,得x = -1,符合题意,若x + 5 = -3,得x = -8,符合题意,故x = -1或-8.]

3. (人教A必修一P13T1改编)已知U = {1，2，3，4，5，6，7}，A = {2，4，5}，B = {1，3，5，7}，则A∩(∁_UB) = {2,4}。

答案： 3.{2,4}　[易知∁UB = {2,4,6},故A∩(∁UB)={2,4}.]

4. (苏教必修一P23T14改编)已知集合A = {x | 0 ＜ x ＜ a}，B = {x | 1 ＜ x ＜ 2}，若B⊆A，则实数a的取值范围是[2,+∞)。

答案：
4.[2,+∞)　[由图可知a≥2.]

考点一 集合的基本概念
例1 (1)(2024·南京二模)已知集合A = {1，2，4}，B = {(x, y) | x ∈ A，y ∈ A，x - y ∈ A}，则集合B的元素个数为2。

答案：
(1)2 [
(1)当x = 1时,y = 1,2,4,x - y = 0,-1,-3,不符合(x - y)∈A,舍去;当x = 2时,y = 1,2,4,x - y = 1,0,-2,则x = 2,y = 1;当x = 4时,y = 1,2,4,x - y = 3,2,0,则x = 4,y = 2.故B = {(x,y)|(2,1),(4,2)},共2个元素.]

(2) 若含有3个实数的集合既可表示成{a，$\frac{b}{a}$，1}，又可表示成{a²，a + b，0}，则a²⁰²⁶ + b²⁰²⁶ = 1。

答案：
(2)1 [
(2)因为{a,$\frac{b}{a}$,1} = {a²,a + b,0},显然a≠0,所以$\frac{b}{a}$=0,即b = 0;此时两集合分别是{a,1,0},{a,a²,0},则a² = 1,解得a = 1或a = -1.当a = 1时,不满足互异性，故舍去;当a = -1时,满足题意.所以a²⁰²⁶ + b²⁰²⁶ = (-1)²⁰²⁶ + 0²⁰²⁶ = 1.]

(1)(2025·银川、昆明联考)已知集合A = {-1，0，1}，B = {x | x = mn，m ∈ A，n ∈ A}，则集合B的真子集个数是(B)

A.4
B.7
C.8
D.15

答案：
(1)B [
(1)由题意得B = {x|x = mn,m∈A,n∈A}={-1,0,1},故集合B的真子集个数为2³ - 1 = 7.]

(2)(2025·北京西城区调研)已知集合A = {x | |x - 1| ＜ 3}，B = {x | x² - 3x - 10 ＜ 0}，若a ∉ A，且a ∈ B，则a的取值范围是(D)

A.(-2，4)
B.(4，5)
C.[4，5]
D.[4，5)

答案：
(2)D [
(2)由|x - 1| ＜ 3,可得-2 ＜ x ＜ 4,所以A = {x|-2 ＜ x ＜ 4}.由x² - 3x - 10 ＜ 0,可得-2 ＜ x ＜ 5,所以B = {x|-2 ＜ x ＜ 5}.若a∉A,且a∈B,则有a∈∁BA = [4,5).]

考点二 集合间的基本关系
例2 (1)(2024·江门联考)设M = {x | x = 4k - 3，k ∈ Z}，N = {x | x = 2k - 1，k ∈ Z}，则(A)

A.M⊆N
B.N⊆M
C.M = N
D.M∩N = ∅

答案：
(1)A [
(1)因为M = {x|x = 4k - 3,k∈Z} = {x|x = 2(2k - 1) - 1,k∈Z},N = {x|x = 2k - 1,k∈Z},所以M⊆N.故选A.]

(2)(2025·大连模拟)设集合A = {x | x - 5 = 0}，B = {x | ax - 1 = 0}，若A∩B = B，则实数a的值为______。

答案：
(2)0或$\frac{1}{5}$ [
(2)因为A = {x|x - 5 = 0} = {5},又A∩B = B,所以B⊆A.当B = ∅时,a = 0,符合题意;当B = {5}时,5a - 1 = 0,解得a = $\frac{1}{5}$.综上可得,a = 0或a = $\frac{1}{5}$.

(1)(2025·北京人大附中检测)已知集合U = {-1，0，1，2}，A = {-1，0，1}，B = {0，1，2}，则{-1}⊆(B)
A.∁_UA
B.∁_UB
C.(∁_UA)∩B
D.∁_U(A∪B)

答案：
(1)B
(1)对于A,∁UA = {2},故A错误;对于B,∁UB = {-1},所以{-1}⊆∁UB,故B正确;对于C,(∁UA)∩B = {2},故C错误;对于D,∁U(A∪B) = ∅,故D错误.]

(2) 设集合A = {x | -1 ≤ x + 1 ≤ 6}，B = {x | m - 1 ＜ x ＜ 2m + 1}，当x ∈ Z时，集合A的非空真子集的个数为254；当B⊆A时，实数m的取值范围是{m|m≤ -2或-1≤m≤2}。

答案：
(2)254 {m|m≤ -2或-1≤m≤2}
(2)易得A = {x|-2≤x≤5}.若x∈Z,则A = {-2,-1,0,1,2,3,4,5},即A中含有8个元素,所以A的非空真子集的个数为2⁸ - 2 = 254.①当m - 1≥2m + 1,即m≤ -2时,B = ∅,满足B⊆A;②当m - 1＜2m + 1,即m ＞ -2时,要使B⊆A,则需$\begin{cases}m - 1≥ -2\\2m + 1≤5\end{cases}$,解得-1≤m≤2.综上所述,m的取值范围是{m|m≤ -2或-1≤m≤2}.]