《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

考点二 导数的运算
例 2 求下列函数的导数:
(1) $ y = x^2 \sin x $；
(2) $ y = \ln \sqrt{1 + x^2} $；
(3) $ y = \frac{\cos x}{\mathrm{e}^x} $；
(4)$ y = x\sin\left(2x + \frac{\pi}{2} \right) \cos\left(2x + \frac{\pi}{2} \right) $。

答案： 例2 解
(1)$y'=(x^{2})'\sin x + x^{2}(\sin x)'=2x\sin x + x^{2}\cos x$.
(2)$y'=\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot (\sqrt{1 + x^{2}})'=\frac{x}{1 + x^{2}}$.
(3)$y'=(\frac{\cos x}{e^{x}})'=\frac{(\cos x)'e^{x} - \cos x(e^{x})'}{(e^{x})^{2}}=\frac{-\sin x + \cos x}{e^{x}}$.
(4)$\because y = x\sin(2x + \frac{\pi}{2})\cos(2x + \frac{\pi}{2})=\frac{1}{2}x\sin(4x + \pi)=-\frac{1}{2}x\sin 4x$,$\therefore y'=-\frac{1}{2}\sin 4x - \frac{1}{2}x \cdot 4\cos 4x=-\frac{1}{2}\sin 4x - 2x\cos 4x$.

(1) (多选) (2025·河南名校调研) 下列求导运算正确的是 (AC)

A.$ \left( x + \frac{1}{x} \right)' = 1 - \frac{1}{x^2} $
B.$ (\mathrm{e}^{2x})' = \mathrm{e}^{2x} $
C.$ (\log_2 x)' = \frac{1}{x\ln 2} $
D.$ \left( \frac{\cos x}{x} \right)' = \frac{x\sin x + \cos x}{x^2} $

答案： 训练2
(1)AC [
(1)对于A,$(x + \frac{1}{x})' = 1 - \frac{1}{x^{2}}$,故A正确;对于B,$(e^{2x})' = e^{2x}(2x)' = 2e^{2x}$,故B错误;对于C,$(\log_{2}x)' = \frac{1}{x\ln 2}$,故C正确;对于D,$(\frac{\cos x}{x})' = \frac{x(-\sin x) - \cos x}{x^{2}}=-\frac{x\sin x + \cos x}{x^{2}}$,故D错误.]

(2) (2025·常州质检) 函数 $ f(x) $ 的导函数为 $ f'(x) $, 若 $ f(x) = x^2 + 2xf'(2) - \ln x $, 则 $ f'(2) $ 的值为$-\frac{7}{2}$$$。

答案：
(2)$-\frac{7}{2}$ [
(2)由$f(x)=x^{2}+2xf'(2)-\ln x$求导得$f'(x)=2x + 2f'(2)-\frac{1}{x}$.当$x = 2$时,可得$f'(2)=4 + 2f'(2)-\frac{1}{2}$,解得$f'(2)=-\frac{7}{2}$.]

考点三 导数的几何意义
角度 1 求切线方程
例 3 (1) (2024·全国甲卷) 设函数 $ f(x) = \frac{\mathrm{e}^x + 2\sin x}{1 + x^2} $, 则曲线 $ y = f(x) $ 在点 $ (0, 1) $ 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 (A)

A.$ \frac{1}{6} $
B.$ \frac{1}{3} $
C.$ \frac{1}{2} $
D.$ \frac{2}{3} $

答案： 例3
(1)A [
(1)$f'(x)=\frac{(e^{x} + 2\cos x)(1 + x^{2}) - (e^{x} + 2\sin x) \cdot 2x}{(1 + x^{2})^{2}}$所以$f'(0)=3$,所以曲线$y = f(x)$在点$(0,1)$处的切线方程为$y - 1 = 3(x - 0)$,即$3x - y + 1 = 0$,切线与两坐标轴的交点分别为$(0,1)$,$(-\frac{1}{3},0)$,所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为$\frac{1}{2} × 1 × \frac{1}{3}=\frac{1}{6}$.]

(2) (2025·贵阳模拟) 过点 $ P(1, -3) $ 作曲线 $ y = 2x^3 - 3x $ 的切线, 切线的方程为$3x + y = 0$或$21x - 2y - 27 = 0$$$。

答案：
(2)$3x + y = 0$或$21x - 2y - 27 = 0$ [
(2)设切点为$(a,2a^{3} - 3a)$,$y = f(x)=2x^{3} - 3x$,则$f'(x)=6x^{2} - 3$,所以切线的斜率$k = f'(a)=6a^{2} - 3$,故切线方程为$y - (2a^{3} - 3a)=(6a^{2} - 3)(x - a)$,因为切线过点$(1, - 3)$,所以$-3 - (2a^{3} - 3a)=(6a^{2} - 3)(1 - a)$,解得$a = 0$或$a = \frac{3}{2}$.则切点坐标为$(0,0)$或$(\frac{3}{2},\frac{9}{4})$,切线方程为$3x + y = 0$或$21x - 2y - 27 = 0$.]

角度 2 求切点坐标或参数
例 4 (1) (2025·葫芦岛质测) 已知直线 $ y = ax - 1 $ 与曲线 $ y = \frac{\ln x}{x} $ 相切, 则 $ a $ 的值为 (A)

A.1
B.$ \frac{1}{\mathrm{e}} $
C.$ \frac{1 - \ln 2}{4} $
D.$ 2\mathrm{e}^2 $

答案： 例4
(1)A [
(1)$y = \frac{\ln x}{x}$的导函数$y' = \frac{1 - \ln x}{x^{2}}$.设切点坐标为$(x_{0},y_{0})$,则$\begin{cases}y_{0}=ax_{0}-1\\y_{0}=\frac{1 - \ln x_{0}}{x_{0}^{2}}\\a=\frac{1 - \ln x_{0}}{x_{0}}\end{cases}$故$\begin{cases}y_{0}=\frac{1 - \ln x_{0}}{x_{0}}\\y_{0}=\frac{\ln x_{0}}{x_{0}}\end{cases}$,即$\frac{\ln x_{0}}{x_{0}}=\frac{1 - \ln x_{0}}{x_{0}} - 1$,则$2\ln x_{0}+x_{0}-1 = 0$.易知函数$f(x)=2\ln x + x - 1$为增函数,且$f(1)=0$,故$x_{0}=1$,故$a=\frac{1 - \ln 1}{1}=1$.]

(2) (2025·昆明诊断) 若曲线 $ f(x) = 2ax^2 + \ln(x - 1) $ 存在垂直于 $ y $ 轴的切线, 则 $ a $ 的取值范围是 (C)

A.$ (-\infty, 1) $
B.$ (-\infty, -1) $
C.$ (-\infty, 0) $
D.$ (-\infty, \mathrm{e})$$$

答案：
(2)C [
(2)由题意,$f'(x)=4ax+\frac{1}{x - 1}=0$在$(1,+\infty)$上有解,则$a = -\frac{1}{4x(x - 1)}$在$(1,+\infty)$上有解,因为$u(x)=4(x - \frac{1}{2})^{2}-1$在$(1,+\infty)$上单调递增,所以$u(x)＞u(1)=0$,则$a＜0$,故选C.]