《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

1. 函数的极值
(1)函数的极小值
函数 $ y = f(x) $ 在点 $ x = a $ 的函数值 $ f(a) $ 比它在点 $ x = a $ 附近其他点的函数值都小，$ f'(a) = 0 $；而且在点 $ x = a $ 附近的左侧$f^{\prime}(x)＜0$，右侧$f^{\prime}(x)＞0$. 则 $ a $ 叫做函数 $ y = f(x) $ 的极小值点，$ f(a) $ 叫做函数 $ y = f(x) $ 的极小值.
(2)函数的极大值
函数 $ y = f(x) $ 在点 $ x = b $ 的函数值 $ f(b) $ 比它在点 $ x = b $ 附近其他点的函数值都大，$ f'(b) = 0 $；而且在点 $ x = b $ 附近的左侧$f^{\prime}(x)＞0$，右侧$f^{\prime}(x)＜0$. 则 $ b $ 叫做函数 $ y = f(x) $ 的极大值点，$ f(b) $ 叫做函数 $ y = f(x) $ 的极大值.
(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.

答案： 1.
(1)$f^{\prime}(x)＜0$ $f^{\prime}(x)＞0$
(2)$f^{\prime}(x)＞0$ $f^{\prime}(x)＜0$
(3)极值点 极值

2. 函数的最大(小)值
(1)函数 $ f(x) $ 在区间 $[a, b]$ 上有最值的条件：
如果在区间 $[a, b]$ 上函数 $ y = f(x) $ 的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
(2)求 $ y = f(x) $ 在区间 $[a, b]$ 上的最大(小)值的步骤：
①求函数 $ y = f(x) $ 在区间 $(a, b)$ 上的极值点；
②将函数 $ y = f(x) $ 的各极值与端点处的函数值$f(a),f(b)$比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

答案： 2.
(2)①极值点 ②$f(a),f(b)$

1. 思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)对于可导函数 $ f(x) $，若 $ f'(x_0) = 0 $，则 $ x_0 $ 为极值点. (×)
(2)函数的极大值不一定是最大值，最小值也不一定是极小值. (√)
(3)函数 $ f(x) $ 在区间 $(a, b)$ 上不存在最值. (×)
(4)连续函数 $ f(x) $ 在区间 $[a, b]$ 上一定存在最值. (√)

答案： 1.
(1)×　
(2)√　
(3)×　
(4)√　[
(1)反例：$f(x)=x^{3}$，$f^{\prime}(x)=3x^{2}$，$f^{\prime}(0)=0$，但$x = 0$不是$f(x)=x^{3}$的极值点。同理，有最值的函数不一定有极值，如$f(x)=x$，$x\in[-1,1]$。
(3)反例：$f(x)=x^{2}$在区间$(-1,2)$上的最小值为0。]

2. (人教 B 选修三 P100T1 改编)如图是 $ f(x) $ 的导函数 $ f'(x) $ 的图象，则 $ f(x) $ 的极小值点的个数为 (A)


A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 2.A [由题意知在$x = -1$处$f^{\prime}(-1)=0$，且其两侧导数值符号左负右正。]

3. (湘教选修二 P49T7 改编)已知 $ f(x) = x^3 - 12x + 1 $，$ x \in \left[-\frac{1}{3}, 1\right] $，则 $ f(x) $ 的最大值为$\frac{134}{27}$，最小值为-10.

答案： 3.$\frac{134}{27}$　 -10 [$f^{\prime}(x)=3x^{2}-12=3(x - 2)(x + 2)$，因为$x\in\left[-\frac{1}{3},1\right]$，所以$f^{\prime}(x)＜0$，故$f(x)$在$\left[-\frac{1}{3},1\right]$上单调递减，所以$f(x)$的最大值为$f\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{134}{27}$，最小值为$f(1)= - 10$。]

4. (人教 A 选修二 P104T9 改编)函数 $ f(x) = x(x - c)^2 $ 有极值，则实数 $ c $ 的取值范围是$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$.

答案： 4.$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$ [$f^{\prime}(x)=(x - c)^{2}+2x(x - c)=3x^{2}-4cx + c^{2}$。由题意知$f^{\prime}(x)$有变号零点，$\therefore\Delta =16c^{2}-12c^{2}=4c^{2}＞0$，解得$c\neq0$，即$c\in(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$。]