《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

考点一 二次函数的解析式
例1 已知二次函数$f(x)$满足$f(2)=-1$，$f(-1)=-1$，且$f(x)$的最大值是8，则$f(x)=$______。

答案： 例1 -4$x^{2}$+4x+7 [法一(利用“一般式”)设$f(x)=ax^{2}+bx+c(a \neq 0)$.由题意得$\begin{cases}4a+2b+c=-1,\\a-b+c=-1,\frac {4ac-b^{2}}{4a}=8,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-4,\\b=4,\\c=7.\end{cases}$所以所求二次函数的解析式为$f(x)=-4x^{2}+4x+7$.法二(利用“顶点式”)设$f(x)=a(x-m)^{2}+n(a \neq 0)$.因为$f(2)=f(-1)$,所以抛物线的对称轴为$x=\frac {2+(-1)}{2}=\frac {1}{2}$,所以$m=\frac {1}{2}$.又根据题意，函数有最大值8,所以$n=8$,所以$f(x)=a(x-\frac {1}{2})^{2}+8$.因为$f(2)=-1$,所以$a(2-\frac {1}{2})^{2}+8=-1$,解得$a=-4$,所以$f(x)=-4(x-\frac {1}{2})^{2}+8=-4x^{2}+4x+7$.法三(利用“零点式”)由已知$f(x)+1=0$的两根为$x_{1}=2,x_{2}=-1$,故可设$f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a \neq 0)$,即$f(x)=ax^{2}-ax-2a-1$.又函数有最大值8,即$\frac {4a(-2a-1)-(-a)^{2}}{4a}=8$.解得$a=-4$或$a=0$(舍).故所求函数的解析式为$f(x)=-4x^{2}+4x+7$.]

已知二次函数的图象过点$(-3,0)，$$(1,0)，$且顶点到$x$轴的距离等于$2，$则二次函数的解析式为　　$y=\frac {1}{2}x^{2}+x-\frac {3}{2}$或$y=-\frac {1}{2}x^{2}-x+\frac {3}{2}$　　。　　

答案： 训练1 $y=\frac {1}{2}x^{2}+x-\frac {3}{2}$或$y=-\frac {1}{2}x^{2}-x+\frac {3}{2}$[因为二次函数的图象过点$(-3,0),(1,0)$,所以可设二次函数为$y=a(x+3)(x-1)(a \neq 0)$,展开得,$y=ax^{2}+2ax-3a$,顶点的纵坐标为$\frac {-12a^{2}-4a^{2}}{4a}=-4a$,由于二次函数图象的顶点到$x$轴的距离为2,所以$|-4a|=2$,即$a= \pm \frac {1}{2}$,所以二次函数的解析式为$y=\frac {1}{2}x^{2}+x-\frac {3}{2}$或$y=-\frac {1}{2}x^{2}-x+\frac {3}{2}$.]

考点二 二次函数的图象
例2 (1)已知函数$f(x)=ax^2 + bx + c$，若$a\gt b\gt c$，且$a + b + c = 0$，且函数$f(x)$的图象可能是(D)

答案：
(1)D [
(1)由$a＞b＞c$且$a+b+c=0$,得$a＞0,c＜0$,所以函数图象开口向上，排除A,C;又$f(0)=c＜0$,排除B.故选D.]

(2)(多选)如图是二次函数$y = ax^2 + bx + c(a\neq0)$图象的一部分，图象过点$A(-3,0)$，对称轴为$x = -1$。给出下面四个结论正确的为(AD)


A.$b^2\gt4ac$
B.$2a - b = 1$
C.$a - b + c = 0$
D.$5a\lt b$AD

答案：
(2)AD [
(2)因为图象与$x$轴交于两点，所以$b^{2}-4ac＞0$,即$b^{2}＞4ac$,A正确.对称轴为$x=-1$,即$-\frac {b}{2a}=-1,2a-b=0$,B错误.结合图象，当$x=-1$时,$y＞0$,即$a-b+c＞0$,C错误.由对称轴为$x=-1$,知$b=2a$.根据抛物线开口向下，知$a＜0$,所以$5a＜2a$,即$5a＜b$,D正确.]

二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图象如图所示，则下列说法正确的是(ACD)

A.$2a + b = 0$
B.$4a + 2b + c\lt0$
C.$9a + 3b + c\lt0$
D.$abc\lt0$

答案： 训练2 ACD [由二次函数图象开口向下知$a＜0$,对称轴为$x=-\frac {b}{2a}=1$,即$2a+b=0$,故$b＞0$.又因为$f(0)=c＞0$,所以$abc＜0$.$f(2)=f(0)=4a+2b+c＞0$,$f(3)=f(-1)=9a+3b+c＜0$.]

考点三 二次函数的最值
例3（2025·福州段考）已知二次函数$f(x)=ax^2 - x + 2a - 1$。
(1)若$f(x)$在区间$[1,2]$上单调递减，求$a$的取值范围；
(2)若$a\gt0$，设函数$f(x)$在区间$[1,2]$上的最小值为$g(a)$，求$g(a)$的表达式。

答案： 例3 解
(1)由题意知$a \neq 0$.当$a＞0$时,$f(x)=ax^{2}-x+2a-1$的图象开口向上，对称轴方程为$x=\frac {1}{2a}$,又$a＞0$,所以$0＜a \leq \frac {1}{4}$;当$a＜0$时,$f(x)=ax^{2}-x+2a-1$的图象开口向下，对称轴方程为$x=\frac {1}{2a}＜0$,所以$f(x)$在区间$[1,2]$上单调递减恒成立.综上,$a$的取值范围是$(-\infty,0) \cup (0,\frac {1}{4}]$.
(2)①当$-\frac {2a-1}{2} \leq 1$,即$a \geq -\frac {1}{2}$时，$f(x)_{\max}=f(3)=6a+3$，$\therefore 6a+3=1$,即$a=-\frac {1}{3}$,满足题意;②当$-\frac {2a-1}{2}＞1$,即$a＜-\frac {1}{2}$时，$f(x)_{\max}=f(-1)=-2a-1$，$\therefore -2a-1=1$,即$a=-1$,满足题意.综上可知,$a=-\frac {1}{3}$或-1.