《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

例1 已知函数$f(x)=x^{2}-2x - 3$，$g(x)=f(5 - x^{2})$，试求$g(x)$的单调区间。解　令$u(x)=5 - x^2$，则$u(x)$在$(-\infty,0]$上单调递增，在$[0,+\infty)$上单调递减，且$u(0)=5$，$f(x)=x^2 - 2x - 3=(x - 1)^2 - 4$在$(-\infty,1]$上单调递减，在$[1,+\infty)$上单调递增，即$u(x)$的单调性是以“0”为界来划分的，$f(x)$的单调性是以“1”为界来划分的，由此可确定$g(x)$的单调性.令$5 - x^2 = 1$，则$x = \pm2$，所以函数$g(x)$的单调递减区间是$(-\infty,-2]$，$[0,2]$，单调递增区间是$[-2,0]$，$[2,+\infty)$.

答案： 例1解　令$u(x)=5 - x^2$，则$u(x)$在$(-\infty,0]$上单调递增，在$[0,+\infty)$上单调递减，且$u(0)=5$，$f(x)=x^2 - 2x - 3=(x - 1)^2 - 4$在$(-\infty,1]$上单调递减，在$[1,+\infty)$上单调递增，即$u(x)$的单调性是以“0”为界来划分的，$f(x)$的单调性是以“1”为界来划分的，由此可确定$g(x)$的单调性.令$5 - x^2 = 1$，则$x = \pm2$，所以函数$g(x)$的单调递减区间是$(-\infty,-2]$，$[0,2]$，单调递增区间是$[-2,0]$，$[2,+\infty)$.

例2 设$f(x)=x^{2}+1$，$g(x)=f(f(x))$，$F(x)=g(x)-\lambda f(x)$。问是否存在实数$\lambda$，使$F(x)$在区间$(-\infty,-\frac{\sqrt{2}}{2}]$上单调递减且在区间$(-\frac{\sqrt{2}}{2},0]$上单调递增？若存在，求出$\lambda$的值；若不存在，请说明理由。

答案： 由题意得$g(x) = f(f(x)) = (x^{2} + 1)^{2} + 1 = x^{4} + 2x^{2} + 2$。
所以$F(x) = g(x) - \lambda f(x) = x^{4} + 2x^{2} + 2 - \lambda(x^{2} + 1) = x^{4} + (2 - \lambda)x^{2} + (2 - \lambda)$。
$F^{\prime}(x)=4x^{3}+2(2 - \lambda)x = 2x[2x^{2}+(2 - \lambda)]$。
因为$F(x)$在区间$(-\infty,-\frac{\sqrt{2}}{2}]$上单调递减，所以$F^{\prime}(x)\leq0$在$(-\infty,-\frac{\sqrt{2}}{2}]$上恒成立。
当$x\in(-\infty,-\frac{\sqrt{2}}{2}]$时，$x\lt0$，则$2x^{2}+(2 - \lambda)\geq0$，即$\lambda\leq2x^{2}+2$在$(-\infty,-\frac{\sqrt{2}}{2}]$上恒成立。
因为$y = 2x^{2}+2$在$(-\infty,-\frac{\sqrt{2}}{2}]$上单调递减，所以$y_{min}=2×(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}+2 = 3$，所以$\lambda\leq3$。
因为$F(x)$在区间$(-\frac{\sqrt{2}}{2},0]$上单调递增，所以$F^{\prime}(x)\geq0$在$(-\frac{\sqrt{2}}{2},0]$上恒成立。
当$x\in(-\frac{\sqrt{2}}{2},0]$时，$x\lt0$，则$2x^{2}+(2 - \lambda)\leq0$，即$\lambda\geq2x^{2}+2$在$(-\frac{\sqrt{2}}{2},0]$上恒成立。
因为$y = 2x^{2}+2$在$(-\frac{\sqrt{2}}{2},0]$上单调递减，所以$y_{max}\lt2×(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}+2 = 3$，当$x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$时，$y = 3$，取到等号，所以$\lambda\geq3$。
综上，$\lambda = 3$。
故存在实数$\lambda = 3$，使$F(x)$在区间$(-\infty,-\frac{\sqrt{2}}{2}]$上单调递减且在区间$(-\frac{\sqrt{2}}{2},0]$上单调递增。

(1)已知函数$f(x)$在$\mathbf{R}$上是增函数，则下列说法正确的是 ()

A.$y=-f(x)$在$\mathbf{R}$上是减函数
B.$y=\frac{1}{f(x)}$在$\mathbf{R}$上是减函数
C.$y=[f(x)]^{2}$在$\mathbf{R}$上是增函数
D.$y = af(x)$ ($a$为实数)在$\mathbf{R}$上是增函数

答案： A

(2)已知函数$f(x)$是$\mathbf{R}$上的减函数，若$f(ax^{2}-2x)$在$(1,+\infty)$上是增函数，则实数$a$的取值范围是。

答案： $(-\infty, 0]$