《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

例1 已知公差不为0的等差数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1}=1$，$a_{4}$是$a_{2}$和$a_{8}$的等比中项。
(1)求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式；
(2)保持数列$\{ a_{n}\}$中各项先后顺序不变，在$a_{k}$与$a_{k + 1}(k = 1,2,\cdots)$之间插入$2^{k}$，使它们和原数列的项构成一个新的数列$\{ b_{n}\}$，记$\{ b_{n}\}$的前$n$项和为$T_{n}$，求$T_{20}$的值。$a_n=n$2101

答案：
(1)$a_n=n$；
(2)$T_{20}=2101$

训练1 已知数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，且$S_{n}=2^{n}+1$。
(1)求$\{ a_{n}\}$的通项公式；
(2)保持$\{ a_{n}\}$中各项先后顺序不变，在$a_{k}$与$a_{k + 1}$之间插入$k$个$1$，使它们和原数列的项构成一个新的数列$\{ b_{n}\}$，记$\{ b_{n}\}$的前$n$项和为$T_{n}$，求$T_{100}$的值(用数字作答)。$a_n=\begin{cases}3,n=1,\\2^{n-1},n\geq2\end{cases}$8280

答案：
(1)$a_n=\begin{cases}3,n=1,\\2^{n-1},n\geq2\end{cases}$；
(2)$T_{100}=8280$

例2 已知等比数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}=2^{n}+r$，其中$r$为常数。
(1)求$r$的值；
(2)设$b_{n}=2(1+\log_{2}a_{n})$，若数列$\{ b_{n}\}$中去掉与数列$\{ a_{n}\}$相同的项后余下的项按原来的顺序组成数列$\{ c_{n}\}$，求$c_{1}+c_{2}+c_{3}+\cdots +c_{100}$的值。$r=-1$11302

答案：
(1)$r=-1$；
(2)$c_1+c_2+c_3+\cdots+c_{100}=11302$

训练2 (2025·汕头模拟)已知数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和是$S_{n}$，$a_{1}=1$，点$(n,\frac{S_{n}}{n})(n\in\mathbf{N}^{*})$在斜率为$\frac{1}{2}$的直线上，数列$\{ a_{n}\}$，$\{ b_{n}\}$满足$a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}=2+(n - 1)\cdot 2^{n + 1}$。
(1)求数列$\{ a_{n}\}$，$\{ b_{n}\}$的通项公式；
(2)若数列$\{ a_{n}\}$中去掉和数列$\{ b_{n}\}$中相同的项后，余下的项按原来的顺序组成数列$\{ c_{n}\}$，且数列$\{ c_{n}\}$的前$n$项和为$T_{n}$，求$T_{100}$。$a_n=n$，$b_n=2^n$5545

答案：
(1)$a_n=n$，$b_n=2^n$；
(2)$T_{100}=5545$