《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

例 1 已知椭圆方程为$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$，求该椭圆在点$P(1,\frac{3}{2})$处的切线方程。x + 2y - 4 = 0

答案： 例1 解法一 由题意可知切线的斜率存在，所以设切线方程为$y - \frac{3}{2} = k(x - 1)$，将$y - \frac{3}{2} = k(x - 1)$代入$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$中得，$3x^2 + 4[k(x - 1) + \frac{3}{2}]^2 = 12$，化简整理得$(3 + 4k^2)x^2 + (12k - 8k^2)x + 4k^2 - 12k - 3 = 0$，令$\Delta = (12k - 8k^2)^2 - 4(3 + 4k^2)(4k^2 - 12k - 3) = 0$，化简整理得$36k^2 + 36k + 9 = 0$，即$4k^2 + 4k + 1 = 0$，解得$k = - \frac{1}{2}$，所以切线方程为$y - \frac{3}{2} = - \frac{1}{2}(x - 1)$，即$x + 2y - 4 = 0$。
法二 因为$P$在第一象限，$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$可化为$y = \sqrt{3} \cdot \sqrt{1 - \frac{x^2}{4}}$，$y' = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2\sqrt{1 - \frac{x^2}{4}}} \cdot ( - \frac{x}{2}) = - \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{x}{\sqrt{1 - \frac{x^2}{4}}}$，当$x = 1$时，$k = y'|_{x = 1} = - \frac{1}{2}$，所以切线方程为$y - \frac{3}{2} = - \frac{1}{2}(x - 1)$，即$x + 2y - 4 = 0$。
法三 由$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$的切线为$\frac{x_0x}{a^2} + \frac{y_0y}{b^2} = 1$，得过$(1,\frac{3}{2})$的切线方程为$\frac{1 \cdot x}{4} + \frac{\frac{3}{2} \cdot y}{3} = 1$，整理得$x + 2y - 4 = 0$。

训练 1 (1)(2025·青岛调研)圆$x^{2}+y^{2}=r^{2}$在点$(x_{0},y_{0})$处的切线方程为$x_{0}x + y_{0}y = r^{2}$，类似地，可以求得椭圆$\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{2}=1$在点$(2,1)$处的切线方程为x + 2y - 4 = 0。

答案：
(1)$x + 2y - 4 = 0$ [
(1)$x^2 + y^2 = r^2$在点$(x_0,y_0)$处的切线方程为$x_0x + y_0y = r^2$，类比得到$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$在点$(x_0,y_0)$处的切线方程为$\frac{x_0x}{a^2} + \frac{y_0y}{b^2} = 1$，故椭圆$\frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{2} = 1$在点$(2,1)$处的切线方程为$\frac{2x}{8} + \frac{y}{2} = 1$，即$x + 2y - 4 = 0$。

(2)过点$P(2,2)$作抛物线$y^{2}=2x$的切线$l$，切线$l$在$y$轴上的截距为1。

答案：
(2)1 [
(2)设切线斜率为k，则切线方程为y - 2 = k(x - 2)，联立方程$\begin{cases} y - 2 = k(x - 2), \\ y^2 = 2x. \end{cases}$可得$ky^2 - 2y - 4k + 4 = 0，$则$\Delta = 4 - 4k( - 4k + 4) = 0，$解得$k = \frac{1}{2}，$即切线方程为$y - 2 = \frac{1}{2}(x - 2)，$取x = 0，得y = 1，所以切线l在y轴上的截距为1。