《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

例 3
1. 在矩形 $ABCD$ 中，$AB = \sqrt{3}$，$AD = 1$，点 $E$ 在 $CD$ 上，现将 $\triangle AED$ 沿 $AE$ 折起，使平面 $AED \perp$ 平面 $ABC$，当 $E$ 从 $D$ 运动到 $C$ 时，求点 $D$ 在平面 $ABC$ 上的射影 $K$ 的轨迹长度为(D)

A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
C.$\frac{\pi}{2}$
D.$\frac{\pi}{3}$

答案：
1. D　[由题意，将$\triangle AED$沿$AE$折起，使平面$AED \perp$平面$ABC$，在平面$AED$内过点$D$作$DK\perp AE$，垂足$K$为$D$在平面$ABC$上的射影，连接$D'K$，由翻折的特征知，则$\angle D'KA = 90^{\circ}$，故$K$点的轨迹是以$AD'$为直径的圆上一段弧，根据长方形知圆半径是$\frac{1}{2}$，如图当$E$与$C$重合时，$\angle D'AC = 60^{\circ}$，所以$AK=\frac{1}{2}$，取$O$为$AD'$的中点，得到$\triangle OAK$是正三角形，故$\angle KOA=\frac{\pi}{3}$，所以$\angle KOD'=\frac{2\pi}{3}$，射影$K$的轨迹长度为$\frac{1}{2}×\frac{2\pi}{3}=\frac{\pi}{3}$。

2. (多选)(2024·湖南九校联考)如图，点 $P$ 是棱长为 2 的正方体 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$ 的表面上一个动点，$F$ 是线段 $A_1B_1$ 的中点，则(CD)

A.若点 $P$ 满足 $AP \perp B_1C$，则动点 $P$ 的轨迹长度为 $4\sqrt{2}$
B.三棱锥 $A - PB_1D_1$ 体积的最大值为 $\frac{16}{3}$
C.当直线 $AP$ 与 $AB$ 所成的角为 $45^{\circ}$ 时，点 $P$ 的轨迹长度为 $\pi + 4\sqrt{2}$
D.当 $P$ 在底面 $ABCD$ 上运动，且满足 $PF //$ 平面 $B_1CD_1$ 时，线段 $PF$ 长度最大值为 $2\sqrt{2}$

答案：
2. CD [
(2)对于A，连接$AD_1$，$BC_1$，如图1，易知$B_1C\perp$平面$ABCD_1$，因为$A\in$平面$ABCD_1$，点$P$是正方体表面上一点，所以动点$P$的轨迹为矩形$ABC_1D_1$，则动点$P$的轨迹长度为$4\sqrt{2}+4$，所以A错误；对于B，因为$V_{A - PB_1D_1}=V_{P - AB_1D_1}$，而$\triangle AB_1D_1$的面积为定值$2\sqrt{3}$，要使三棱锥$P - AB_1D_1$的体积最大，当且仅当点$P$到平面$AB_1D_1$距离最大，易知点$C$是正方体表面上到平面$AB_1D_1$距离最大的点，$(V_{A - PB_1D_1})_{max}=V_{C - AB_1D_1}=\frac{8}{3}$，B错误；对于C，连接$CA$，$AB_1$，以$B$为圆心，$BB_1$为半径画弧$B_1C$，如图1所示，当点$P$在线段$AC$，$AB_1$和弧$B_1C$上时，直线$AP$与$AB$所成的角为$45^{\circ}$，又$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}=\sqrt{4 + 4}=2\sqrt{2}$，$AB_1 = \sqrt{AB^2 + BB^2}=\sqrt{4 + 4}=2\sqrt{2}$，弧$B_1C$的长度为$\frac{1}{4}×\pi×2^2=\pi$，故点$P$的轨迹长度为$\pi + 4\sqrt{2}$，故C正确；对于D，取$A_1D_1$，$D_1D$，$DC$，$CB$，$BB_1$，$AB$的中点分别为$Q$，$R$，$N$，$M$，$T$，$H$，连接$QR$，$QF$，$FT$，$TM$，$MN$，$NR$，$FH$，$HN$，$HM$，$FM$，$FN$，如图2所示，因为$FT// D_1C$，$FT\not\subset$平面$D_1B_1C$，$D_1C\subset$平面$D_1B_1C$，所以$FT//$平面$D_1B_1C$，因为$TM// B_1C$，$TM\not\subset$平面$D_1B_1C$，$B_1C\subset$平面$D_1B_1C$，所以$TM//$平面$D_1B_1C$，又$FT\cap TM = T$，$FT$，$TM\subset$平面$FTM$，故平面$FTM//$平面$D_1B_1C$，又$QF// NM$，$QR// TM$，$RN// FT$，故平面$FTMNRQ$与平面$FTM$是同一个平面，则点$P$的轨迹为线段$MN$，在三角形$FNM$中，$FN = \sqrt{FH^2 + HN^2}=\sqrt{4 + 4}=2\sqrt{2}$，$FM = \sqrt{FH^2 + HM^2}=\sqrt{4 + 2}=\sqrt{6}$，$NM = \sqrt{2}$，则$FM^2 + MN^2 = 8 = FN^2$，故三角形$FNM$是以$\angle FMN$为直角的直角三角形，故$FP_{max}=FN = 2\sqrt{2}$，故D正确，故选CD。]
　

(多选)(2025·杭州调研)如图，在棱长为 2 的正方体 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$ 中，$P$，$Q$ 分别为 $AC_1$，$A_1B_1$ 的中点，点 $T$ 在正方体的表面上运动，满足 $PT \perp BQ$.则下列结论正确的是(BCD)


A.点 $T$ 可以是棱 $DD_1$ 的中点
B.线段 $PT$ 长度的最小值为 1
C.点 $T$ 的轨迹是矩形
D.点 $T$ 的轨迹围成的多边形的面积为 $2\sqrt{5}$

答案：
训练3 BCD [以$C$点为坐标原点，$CD$，$CB$，$CC_1$所在直线分别为$x$，$y$，$z$轴建立如图所示的空间直角坐标系，则$C(0,0,0)$，$D(2,0,0)$，$B(0,2,0)$，$A(2,2,0)$，$C_1(0,0,2)$，$D_1(2,0,2)$，$B_1(0,2,2)$，$A_1(2,2,2)$，$P(1,1,1)$，$Q(1,2,2)$，设$T(x,y,z)$。
对于A，当点$T$为棱$DD_1$的中点时，$T(2,0,1)$，则$\overrightarrow{PT}=(1,-1,0)$，又$\overrightarrow{BQ}=(1,0,2)$，$\overrightarrow{PT}\cdot\overrightarrow{BQ}=1 + 0 + 0 = 1\neq0$，不满足$PT\perp BQ$，所以点$T$不是棱$DD_1$的中点，故A中结论错误。
$\overrightarrow{PT}=(x - 1,y - 1,z - 1)$，因为$PT\perp BQ$，所以$x - 1 + 2(z - 1)=0$，即$x + 2z = 3$。当$x = 0$时，$z=\frac{3}{2}$；当$x = 2$时，$z=\frac{1}{2}$。取$E(2,0,\frac{1}{2})$，$F(2,2,\frac{1}{2})$，$G(0,2,\frac{3}{2})$，$H(0,0,\frac{3}{2})$，连接$EF$，$FG$，$GH$，$HE$，则$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{GH}=(0,2,0)$，$\overrightarrow{EH}=\overrightarrow{FG}=(-2,0,1)$，所以$\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{EH}=0$，即$EF\perp EH$，所以四边形$EFGH$为矩形，因为$\overrightarrow{BQ}=(1,0,2)$，$\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{BQ}=0$，$\overrightarrow{EH}\cdot\overrightarrow{BQ}=0$，所以$EF\perp BQ$，$EH\perp BQ$，又$EF$和$EH$为平面$EFGH$内的两条相交直线，所以$BQ\perp$平面$EFGH$，又$\overrightarrow{EP}=(-1,1,\frac{1}{2})$，$\overrightarrow{PG}=(-1,1,\frac{1}{2})$，所以$P$为$EG$的中点，则$P\in$平面$EFGH$，为使$PT\perp BQ$，必有点$T\in$平面$EFGH$，又点$T$在正方体表面上运动，所以点$T$的轨迹为矩形$EFGH$，故C中结论正确。
矩形$EFGH$的面积为$2×\sqrt{5}=2\sqrt{5}$，故D中结论正确。
由$x + 2z = 3$，得$x = 3 - 2z$，又点$T$在正方体表面上运动，则$0\leqslant3 - 2z\leqslant2$，解得$\frac{1}{2}\leqslant z\leqslant\frac{3}{2}$。所以$\vert PT\vert=\sqrt{(x - 1)^2+(y - 1)^2+(z - 1)^2}=\sqrt{5(z - 1)^2+(y - 1)^2}$，结合点$T$的轨迹为矩形$EFGH$，分别讨论下列两种可能取得最小值的情况：当$z = 1$，$y = 0$或$y = 2$时，$\vert PT\vert = 1$；当$y = 1$，$z=\frac{1}{2}$或$z=\frac{3}{2}$时，$\vert PT\vert=\frac{\sqrt{5}}{2}$。因为$1＜\frac{\sqrt{5}}{2}$，所以当$z = 1$，$y = 0$或$y = 2$时，$\vert PT\vert$取得最小值，为$1$，故B中结论正确。]