《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

1. 函数的零点
(1) 概念: 对于一般函数 $ y = f(x) $, 我们把使f(x)=0的实数 $ x $ 叫做函数 $ y = f(x) $ 的零点.
(2) 函数的零点、函数的图象与 $ x $ 轴的交点、对应方程的根的关系:

答案： 1.
(1)f(x)=0　
(2)x轴　f(x)=0

2. 函数零点存在定理
(1) 条件: ① 函数 $ y = f(x) $ 在区间 $[a, b]$ 上的图象是一条连续不断的曲线; ②f(a)·f(b)＜0.
(2) 结论: 函数 $ y = f(x) $ 在区间 $ (a, b) $ 内至少有一个零点, 即存在 $ c \in (a, b) $, 使得f(c)=0, 这个 $ c $ 也就是方程 $ f(x) = 0 $ 的解.

答案： 2.
(1)②f(a)·f(b)　
(2)f(c)=0

1. 思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1) 函数 $ f(x) = 2x $ 的零点为 0. (√)
(2) 图象连续的函数 $ y = f(x) (x \in D) $ 在区间 $ (a, b) \subseteq D $ 内有零点, 则 $ f(a) \cdot f(b) ＜ 0 $. (×)
(3) 二次函数 $ y = ax^2 + bx + c (a \neq 0) $ 在 $ b^2 - 4ac ＜ 0 $ 时没有零点. (√)

答案： 1.
(1)√　
(2)×　
(3)√　[
(2)f(a)·f(b)＜0 是连续函数y=f(x)在(a,b)内有零点的充分不必要条件,故
(2)错误.]

2. (苏教必修一 P253T8 改编) 函数 $ f(x) = \begin{cases} x^2 + x - 2, x \leq 0, \\ -1 + \ln x, x ＞ 0 \end{cases} $ 的零点个数为(B)

A.3
B.2
C.7
D.0

答案： 2.B [由$\begin{cases}x\leq0,\\x^{2}+x - 2=0,\end{cases} $或$\begin{cases}x＞0,\\ - 1+\ln x=0,\end{cases}$
解得x= - 2或x=e,故f(x)有2个零点.]

3. (北师大必修一 P132T3(2) 改编) 函数 $ f(x) = \log_2 x + x - 2 $ 的零点所在的区间为(B)

A.$ (0, 1) $
B.$ (1, 2) $
C.$ (2, 3) $
D.$ (3, 4) $

答案： 3.B [函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,
且f
(1)= - 1,f
(2)=1,则f
(1)f
(2)＜0,
故f(x)的零点所在的区间为(1,2).]

4. (人教 A 必修一 P156T13 改编) 若函数 $ f(x) = 2x + a $ 在 $ (-1, 1) $ 内存在一个零点, 则 $ a $ 的取值范围是( - 2,2).

答案： 4.( - 2,2)　[由题意得f( - 1)f
(1)=( - 2+a)·(2+a)＜0,解得 - 2＜a＜2.]

考点一 函数零点所在区间的判断
例 1 (1) (2025·东北师大附中模拟) 方程 $ \log_3 x + x = 2 $ 的根所在区间是(B)

A.$ (0, 1) $
B.$ (1, 2) $
C.$ (2, 3) $
D.$ (3, 4) $

答案： 例1
(1)B　[
(1)设$f(x)=\log_{3}x+x - 2,$则方程$\log_{3}x+x=2$的根所在的区间即为f(x)零点所在的区间.
∵$y=\log_{3}x$与y=x - 2在(0,+∞)上均单调递增,
∴f(x)在(0,+∞)上单调递增.
对于A,
∵$f(1)=\log_{3}1+1 - 2= - 1,$
∴当x∈(0,1)时,f(x)＜ - 1,A错误;
对于B,
∵f
(1)= - 1＜0,
$f(2)=\log_{3}2+2 - 2=\log_{3}2＞0,$
即f
(1)f
(2)＜0,
∴$∃x_{0}∈(1,2),$使得$f(x_{0})=0，$B正确;
对于C,D,当x＞2时,f(x)＞f
(2)＞0,
∴f(x)在区间(2,3)和(3,4)上无零点,C错误,D错误.]

(2) 若 $ a ＜ b ＜ c $, 则函数 $ f(x) = (x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) $ 的两个零点分别位于区间(A)

A.$ (a, b) $ 和 $ (b, c) $ 内
B.$ (-\infty, a) $ 和 $ (a, b) $ 内
C.$ (b, c) $ 和 $ (c, +\infty) $ 内
D.$ (-\infty, a) $ 和 $ (c, +\infty) $ 内

答案： 例1
(2)A [
(2)函数y=f(x)是图象开口向上的二次函数，最多有两个零点，
由于a＜b＜c,
则a - b＜0,a - c＜0,b - c＜0,
因此f(a)=(a - b)(a - c)＞0,
f(b)=(b - c)(b - a)＜0,
f(c)=(c - a)(c - b)＞0.
所以f(a)f(b)＜0,f(b)f(c)＜0,即f(x)在区间(a,b)和区间(b,c)内各有一个零点.]