《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

1. 点 $ P $ 到直线 $ l $ 的距离
如图 1，已知直线 $ l $ 的单位方向向量为 $ \boldsymbol{u} $，$ A $ 是直线 $ l $ 上的定点，$ P $ 是直线 $ l $ 外一点，设 $ \overrightarrow{AP} = \boldsymbol{a} $，则向量 $ \overrightarrow{AP} $ 在直线 $ l $ 上的投影向量 $ \overrightarrow{AQ} = (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{u})\boldsymbol{u} $. 在 $ Rt \triangle APQ $ 中，由勾股定理，得 $ PQ = \sqrt{|\overrightarrow{AP}|^2 - |\overrightarrow{AQ}|^2} = $ $\sqrt{\mathbf{a}^{2}-(\mathbf{a} \cdot \mathbf{u})^{2}}$.

2. 点 $ P $ 到平面 $ \alpha $ 的距离
如图 2，已知平面 $ \alpha $ 的法向量为 $ \boldsymbol{n} $，$ A $ 是平面 $ \alpha $ 内的定点，$ P $ 是平面 $ \alpha $ 外一点. 过点 $ P $ 作平面 $ \alpha $ 的垂线 $ l $，交平面 $ \alpha $ 于点 $ Q $，则 $ \boldsymbol{n} $ 是直线 $ l $ 的方向向量，且点 $ P $ 到平面 $ \alpha $ 的距离就是 $ \overrightarrow{AP} $ 在直线 $ l $ 上的投影向量 $ \overrightarrow{QP} $ 的长度. 因此 $ PQ = $ $\frac{|\overrightarrow{AP} \cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{n}|}$ = $\frac{|\overrightarrow{AP} \cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{n}|}$.
说明：线面距和面面距可转化成点面距求解.

答案： 1. $\sqrt{\mathbf{a}^{2}-(\mathbf{a} \cdot \mathbf{u})^{2}}$ 2. $\frac{|\overrightarrow{AP} \cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{n}|}$

1. 思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1) 平面 $ \alpha $ 上不共线的三点到平面 $ \beta $ 的距离相等，则 $ \alpha // \beta $. (×)
(2) 点到直线的距离也就是该点到直线上任一点连线的长度. (×)
(3) 直线 $ l $ 平行于平面 $ \alpha $，则直线 $ l $ 上各点到平面 $ \alpha $ 的距离相等. (√)
(4) 直线 $ l $ 上两点到平面 $ \alpha $ 的距离相等，则 $ l $ 平行于平面 $ \alpha $. (×)

答案：
(1)×　
(2)×　
(3)√　
(4)×　[
(1)当平面$\alpha$上三点在平面$\beta$的两侧时，$\alpha$与$\beta$相交.　
(2)点到直线的距离是过该点作直线的垂线，该点与垂足之间的距离.　
(4)直线$l$上的两个点在平面$\alpha$的两侧时，$l$与平面$\alpha$相交.]

2. (人教 A 选修一 P34 例 6 改编) 已知平面 $ ABC $ 的一个法向量为 $ \boldsymbol{n} = (1, 2, 1) $，向量 $ \overrightarrow{AF} = \left(0, \dfrac{1}{2}, 0\right) $，则点 $ F $ 到平面 $ ABC $ 的距离为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$.

答案： $\frac{\sqrt{6}}{6}$　[由题意，点$F$到平面$ABC$的距离为$\frac{|\overrightarrow{AF} \cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{n}|}=\frac{\left|(0, \frac{1}{2}, 0) \cdot(1,2,1)\right|}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{6}$.]

3. (人教 A 选修一 P35T1 改编) 已知直线 $ l $ 经过点 $ A(2, 3, 1) $，且向量 $ \boldsymbol{n} = \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}, 0, \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) $ 为 $ l $ 的一个单位方向向量，则点 $ P(4, 3, 2) $ 到 $ l $ 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

答案： $\frac{\sqrt{2}}{2}$　[因为$\overrightarrow{PA}=(-2,0,-1)$，且$\mathbf{n}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$为$l$的一个单位方向向量，故点$P$到$l$的距离为$d=\sqrt{|\overrightarrow{PA}|^{2}-(\overrightarrow{PA} \cdot \mathbf{n})^{2}}=\sqrt{5-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

4. (苏教选修二 P52T8 改编) 定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值. 在长方体 $ ABCD - A_1B_1C_1D_1 $ 中，$ AB = 1 $，$ BC = 2 $，$ AA_1 = 3 $，则异面直线 $ AC $ 与 $ BC_1 $ 之间的距离为 $\frac{6}{7}$.

答案：
$\frac{6}{7}$　[如图，以$D$为坐标原点建立空间直角坐标系，则$A(2,0,0)$，$C(0,1,0)$，$B(2,1,0)$，$C_1(0,1,3)$，则$\overrightarrow{AC}=(-2,1,0)$，$\overrightarrow{BC_1}=(-2,0,3)$，设$AC$和$BC_1$的公垂线的方向向量$\mathbf{n}=(x,y,z)$，则$\begin{cases} \mathbf{n} \cdot \overrightarrow{AC}=0 \\ \mathbf{n} \cdot \overrightarrow{BC_1}=0 \end{cases}$，即$\begin{cases} -2x+y=0 \\ -2x+3z=0 \end{cases}$，令$x=3$，则$\mathbf{n}=(3,6,2)$，$\because \overrightarrow{AB}=(0,1,0)$，$\therefore$异面直线$AC$和$BC_1$之间的距离为$d=\frac{|\overrightarrow{AB} \cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{n}|}=\frac{6}{7}$　　　　　　　　　　　　

考点一 向量法求点到直线的距离
例 1 如图，$ P $ 为矩形 $ ABCD $ 所在平面外一点，$ PA \perp $ 平面 $ ABCD $. 若已知 $ AB = 3 $，$ AD = 4 $，$ PA = 1 $，则点 $ P $ 到直线 $ BD $ 的距离为 (A)


A.$ \dfrac{13}{5} $
B.$ \dfrac{13}{7} $
C.$ \dfrac{15}{7} $
D.$ \dfrac{16}{7}$$$

答案：
A　[如图，分别以$AB$，$AD$，$AP$所在直线为$x$轴、$y$轴、$z$轴建立空间直角坐标系，　　　　　　　　　 则$P(0,0,1)$，$B(3,0,0)$，$D(0,4,0)$，则$\overrightarrow{BP}=(-3,0,1)$，$\overrightarrow{BD}=(-3,4,0)$，法一　点$P$到直线$BD$的距离$d=\sqrt{|\overrightarrow{BP}|^{2}-\frac{(\overrightarrow{BP} \cdot \overrightarrow{BD})^{2}}{|\overrightarrow{BD}|^{2}}}=\sqrt{10-\left(\frac{9}{5}\right)^{2}}=\frac{13}{5}$，所以点$P$到直线$BD$的距离为$\frac{13}{5}$. 法二　$\cos\langle\overrightarrow{BP},\overrightarrow{BD}\rangle=\frac{\overrightarrow{BP} \cdot \overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{BP}||\overrightarrow{BD}|}=\frac{9}{\sqrt{10} × 5}=\frac{9 \sqrt{10}}{50}$，所以$\sin\langle\overrightarrow{BP},\overrightarrow{BD}\rangle=\frac{13 \sqrt{10}}{50}$，所以点$P$到直线$BD$的距离为$|\overrightarrow{BP}| \sin\langle\overrightarrow{BP},\overrightarrow{BD}\rangle=\sqrt{10} × \frac{13 \sqrt{10}}{50}=\frac{13}{5}$