《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

1. 两个实数比较大小的方法

答案： 1.
(1)＞ = ＜
(2)＞ = ＜

2. 不等式的性质
(1) 对称性：$a ＞ b \Leftrightarrow b ＜ a$；
(2) 传递性：$a ＞ b, b ＞ c \Rightarrow a ＞ c$；
(3) 同向可加性：$a ＞ b \Leftrightarrow a + c $＞$ b + c$；$a ＞ b, c ＞ d \Rightarrow a + c $＞$ b + d$；
(4) 可乘性：$a ＞ b, c ＞ 0 \Rightarrow ac $＞$ bc$；$a ＞ b, c ＜ 0 \Rightarrow ac ＜ bc$；$a ＞ b ＞ 0, c ＞ d ＞ 0 \Rightarrow ac $＞$ bd$；
(5) 可乘方性：$a ＞ b ＞ 0 \Rightarrow a^n $＞$ b^n(n \in \mathbf{N}, n \geq 1)$；
(6) 可开方性：$a ＞ b ＞ 0 \Rightarrow \sqrt[n]{a} $＞$ \sqrt[n]{b}(n \in \mathbf{N}, n \geq 2)$。

答案： 2.
(3)＞ ＞
(4)＞ ＞
(5)＞ ＜
(6)＞

1. 思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1) $a ＞ b \Leftrightarrow ac^3 ＞ bc^3$. (×)
(2) $a = b \Leftrightarrow ac = bc$. (×)
(3) 若$\frac{a}{b} ＞ 1$，则$a ＞ b$. (×)
(4) $a ＜ x ＜ b ＜ 0 \Rightarrow \frac{1}{b} ＜ \frac{1}{x} ＜ \frac{1}{a}$. (√)

答案： 1.
(1)×
(2)×
(3)×
(4)√ [
(1)由不等式的性质,ac³＞bc³⇏a＞b;反之,c≤0时,a＞b⇏ac³＞bc³.
(2)由等式的性质,a=b⇔ac=bc;反之,c=0时,ac=bc⇏a=b.
(3)a=-3,b=-1,则$\frac{a}{b}＞1,$但a＜b.]

2. (人教 A 必修一 P43T8 改编)(多选)下列命题为真命题的是(ABD)

A.若$ac^2 ＞ bc^2$，则$a ＞ b$
B.若$a ＞ b ＞ 0$，则$a^2 ＞ b^2$
C.若$a ＜ b ＜ 0$，则$a^2 ＜ ab ＜ b^2$
D.若$a ＜ b ＜ 0$，则$\frac{1}{a} ＞ \frac{1}{b}$

答案： 2.ABD [C中,若a=-2,b=-1,则a²＞ab＞b²,故C错误.其余均为真命题.]

3. (苏教必修一 P53 例 3 改编)设$M = x^2 + y^2 + 1$，$N = 2(x + y - 1)$，则$M$与$N$的大小关系为M＞N.

答案： 3.M＞N [M-N=x²+y²+1-2x-2y+2=(x-1)²+(y-1)²+1＞0.故M＞N.]

4. (人教 B 必修一 P81 习题 2 - 2BT3 改编)已知$a \in (1, 3)$，$b \in (2, 3)$，则$a - 2b$的取值范围是(-5,-1).

答案： 4.(-5,-1) [由b∈(2,3)得-6＜-2b＜-4,又1＜a＜3,故-5＜a-2b＜-1.]

例 1 (1) 若正实数$a, b, c$满足$c ＜ c^b ＜ c^a ＜ 1$，则(C)

A.$a^a ＜ a^b ＜ b^a$
B.$a^a ＜ b^a ＜ a^b$
C.$a^b ＜ a^a ＜ b^a$
D.$a^b ＜ b^a ＜ a^a$

答案： 例1
(1)C [
(1)
∵c是正实数,且c＜1,
∴0＜c＜1,由c＜c^b＜c^a＜1,得0＜a＜b＜1,
∵$\frac{a^a}{a^b}=a^{a-b}＞1,$
∴a^a＜a^b,
∵$\frac{a^a}{b^a}=(\frac{a}{b})^a,0＜\frac{a}{b}＜1,a＞0,$
∴$(\frac{a}{b})^a＜1,$即a^a＜b^a,综上可知,a^b＜a^a＜b^a.]

(2) 已知$M = \frac{e^{2024} + 1}{e^{2025} + 1}$，$N = \frac{e^{2025} + 1}{e^{2026} + 1}$，则$M, N$的大小关系为M＞N.

答案： 例1
(2)M＞N [
(2)法一$ M-N=\frac{e^{2024}+1}{e^{2025}+1}-\frac{e^{2025}+1}{e^{2026}+1}=\frac{(e^{2024}+1)(e^{2026}+1)-(e^{2025}+1)^2}{(e^{2025}+1)(e^{2026}+1)}=\frac{e^{2024+2026}+e^{2024}+e^{2026}+1-e^{2×2025}-2e^{2025}-1}{(e^{2025}+1)(e^{2026}+1)}=\frac{e^{4050}-2e^{2025}+e^{2024}+e^{2026}}{(e^{2025}+1)(e^{2026}+1)}=\frac{e^{2024}(e^{2026}-2e^{2}+1)+e^{2026}}{(e^{2025}+1)(e^{2026}+1)}=\frac{e^{2024}(e^{2025}-1)^2}{(e^{2025}+1)(e^{2026}+1)}＞0.$
∴M＞N.法二 令$f(x)=\frac{e^x+1}{e^{x+1}+1}=\frac{1}{e}×\frac{e^{x+1}+1+1-\frac{1}{e}}{e^{x+1}+1}=\frac{1}{e}(1+\frac{1-\frac{1}{e}}{e^{x+1}+1})$显然f(x)是R上的减函数,
∴f
(2024)＞f
(2025),即M＞N.]