《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

1. 直线与圆的位置关系
设圆 $ C:(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 $，直线 $ l:Ax + By + C = 0 $，圆心 $ C(a,b) $ 到直线 $ l $ 的距离为 $ d $. 由 $ \begin{cases} (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \\ Ax + By + C = 0 \end{cases} $，消去 $ y $(或 $ x $)，得到关于 $ x $(或 $ y $)的一元二次方程，其判别式为 $ \Delta $.

答案： 1.＜ = ＞ ＞ = ＜

2. 圆与圆的位置关系
已知两圆 $ C_1:(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = r_1^2 $，$ C_2:(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 = r_2^2 $，则圆心距 $ d = |C_1C_2| = $$\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$.
则两圆 $ C_1,C_2 $ 有以下位置关系：

答案： 2. $\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$ $d ＞ r_1 + r_2$
$d ＜ |r_1 - r_2|$ $|r_1 - r_2| ＜ d ＜ r_1 + r_2$
$d = |r_1 - r_2|$ $d = r_1 + r_2$

3. 直线被圆截得的弦长的求法
(1) 几何法：运用弦心距 $ d $、半径 $ r $ 和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长 $ |AB| = $2 $\sqrt{r^2 - d^2}$.
(2) 代数法：设直线 $ y = kx + m $ 与圆 $ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0(D^2 + E^2 - 4F ＞ 0) $ 相交于点 $ M,N $，将直线方程代入圆的方程中，消去 $ y $，得关于 $ x $ 的一元二次方程，求出 $ x_M + x_N $ 和 $ x_M \cdot x_N $，则 $ |MN| = \sqrt{1 + k^2} \cdot \sqrt{(x_M + x_N)^2 - 4x_M \cdot x_N} $.

答案： 3.
(1)2 $\sqrt{r^2 - d^2}$

1. 思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1) 过圆上一点的直线必与圆相交. (×)
(2) 如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切. (×)
(3) 如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交. (×)
(4) 过圆 $ O:x^2 + y^2 = r^2 $ 外一点 $ P(x_0,y_0) $ 作圆的两条切线，切点分别为 $ A,B $，则 $ O,P,A,B $ 四点共圆，且直线 $ AB $ 的方程是 $ x_0x + y_0y = r^2 $. (√)

答案： 1.
(1)×　
(2)×　
(3)×　
(4)√　[
(1)过圆上一点的直线与圆相切或相交;
(2)除外切外,还可能内切;
(3)两圆还可能内切或内含.]