《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

考点一 对数的运算
例 1 (1)(2025·丹东模拟)若 $ 2^a = 3 $，$ 3^b = 5 $，$ 5^c = 4 $，则 $ \log_4 (abc) = $(B)

A.-2
B.$ \frac{1}{2} $
C.$ \frac{\sqrt{2}}{2} $
D.1

答案：
(1)B [
(1)由$2^{a} = 3,3^{b} = 5,5^{c} = 4$，
可得$a = \log_{2}3,b = \log_{3}5,c = \log_{5}4$，
所以$abc = \log_{2}3 × \log_{3}5 × \log_{5}4$
$=\frac{\lg 3}{\lg 2} × \frac{\lg 5}{\lg 3} × \frac{\lg 4}{\lg 5} = 2$，
则$\log_{4}(abc) = \log_{4}2 = \frac{1}{2}.$]

(2) 计算：$ \frac{(1 - \log_6 3)^2 + \log_6 2 \cdot \log_6 18}{\log_6 4} = $1。

答案：
(2)1 [
(2)原式$=$
$\frac{1 - 2\log_{6}3 + (\log_{6}3)^{2} + (1 - \log_{6}3)(1 + \log_{6}3)}{\log_{6}4}$
$=\frac{1 - 2\log_{6}3 + (\log_{6}3)^{2} + 1 - (\log_{6}3)^{2}}{\log_{6}4}$
$=\frac{2(1 - \log_{6}3)}{2\log_{6}2}=\frac{\log_{6}6 - \log_{6}3}{\log_{6}2} = 1.$]

(1) 计算：$ \log_5 35 + 2 \log_{\frac{1}{2}} \sqrt{2} - \log_5 \frac{1}{50} - \log_5 14 = $2。

答案：
(1)2 [
(1)原式$=\log_{5}35 - \log_{5}\frac{1}{50} - \log_{5}14 + \log_{5}\frac{1}{\sqrt[4]{2^{2}}}$
$=\log_{5}\frac{35}{\frac{1}{50} × 14} + \log_{5}\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$
$=\log_{5}5^{3} - 1 = 3 - 1 = 2$.]

(2) 已知 $ \lg 2 = a $，$ \lg 3 = b $，用 $ a $，$ b $ 表示 $ \log_{18} 15 = $______。

答案：
(2)$\frac{b - a + 1}{2b + a}$
[
(2)$\log_{18}15 = \frac{\lg 15}{\lg 18} = \frac{\lg 3 + \lg 5}{\lg 2 + 2\lg 3}$
$=\frac{\lg 3 + 1 - \lg 2}{\lg 2 + 2\lg 3} = \frac{b - a + 1}{2b + a}$]

考点二 对数函数的图象及应用
例 2 (1)(多选)(2025·青岛调研)已知 $ a^x = b^{-x} $，函数 $ y = \log_a (-x) $ 与 $ y = b^x $ 的图象可能是(AB)

答案：
(1)AB [
(1)因为$a^{x} = b^{-x}$，即$a^{x} = (\frac{1}{b})^{x}$，
当$a ＞ 1$时，$0 ＜ \frac{1}{b} ＜ 1$，
指数函数$y = b^{x}$在R上单调递减，且过点$(0,1)$；
对数函数$y = \log_{a}x$在$(0, +\infty)$上单调递增，且过点$(1,0)$，
将$y = \log_{a}x$的图象关于$y$轴对称得到$y = \log_{a}(-x)$的图象，
则$y = \log_{a}(-x)$在$(-\infty,0)$上单调递减，且过点$(-1,0)$，故A符合题意；
当$0 ＜ a ＜ 1$时，$b ＞ 1$，
同理可得，指数函数$y = b^{x}$在R上单调递增，且过点$(0,1)$，
$y = \log_{a}(-x)$在$(-\infty,0)$上单调递增，且过点$(-1,0)$，故B符合题意.]

(2) 已知函数 $ f(x) = |\log_3 x| $，若 $ a ＜ b $，且 $ f(a) = f(b) $，则 $ a + 4b $ 的取值范围是(D)

A.$ [2\sqrt{2}, +\infty) $
B.$ (2\sqrt{2}, +\infty) $
C.$ [5, +\infty) $
D.$ (5, +\infty)$$$

答案：

(2)D [
(2)画出$f(x) = |\log_{3}x|$的图象如图.
因为$a ＜ b$，且$f(a) = f(b)$，
所以$-\log_{3}a = \log_{3}b$，
故$\frac{1}{a} = b$，且$0 ＜ a ＜ 1$，
令$y = a + 4b$，所以$y = a + \frac{4}{a}$.
由对勾函数的性质可知$y = a + \frac{4}{a}$在$(0,1)$上单调递减，故$y = a + \frac{4}{a} ＞ 1 + \frac{4}{1} = 5$.
故$a + 4b$的取值范围是$(5, +\infty)$.
]

(1) 已知函数 $ f(x) = \log_a (2^x + b - 1) (a ＞ 0 $ 且 $ a \neq 1) $ 的图象如图所示，则 $ a $，$ b $ 满足的关系是(A)

A.$ 0 ＜ a^{-1} ＜ b ＜ 1 $
B.$ 0 ＜ b ＜ a^{-1} ＜ 1 $
C.$ 0 ＜ b^{-1} ＜ a ＜ 1 $
D.$ 0 ＜ a^{-1} ＜ b^{-1} ＜ 1 $

答案：
(1)A [
(1)由函数图象可知，$f(x)$为增函数，故$a ＞ 1$.
函数图象与$y$轴的交点坐标为$(0,\log_{a}b)$，
由函数图象可知$-1 ＜ \log_{a}b ＜ 0$，
解得$\frac{1}{a} ＜ b ＜ 1$.
综上，$0 ＜ a^{-1} ＜ b ＜ 1$.]

(2) 若方程 $ 4^x = \log_a x $ 在 $ (0, \frac{1}{2}] $ 上有解，则实数 $ a $ 的取值范围为______。

答案：

(2)$(0,\frac{\sqrt{2}}{2}]$
[
(2)若方程$4^{x} = \log_{a}x$在$(0,\frac{1}{2}]$上有解，则函数$y = 4^{x}$和函数$y = \log_{a}x$的图象在$(0,\frac{1}{2}]$上有交点，
由图象知$\log_{a}\frac{1}{2} \leq 4^{\frac{1}{2}}$，解得$0 ＜ a \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$
]