《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

1. 等差数列的概念
(1) 定义: 如果一个数列从第2项起, 每一项与它的前一项的差都等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等差数列.
数学语言表达式: $ a_{n + 1} - a_n = d (n \in \mathbf{N}^*, d $ 为常数).
(2) 等差中项: 由三个数 $ a, A, b $ 组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列, 这时A叫做 $ a $ 与 $ b $ 的等差中项, 根据等差数列的定义可知 $ 2A = $a+b.

答案： 1.
(1)同一个常数
(2)A $a+b$

2. 等差数列的通项公式与前n项和公式
(1) 若等差数列 $ \{ a_n \} $ 的首项是 $ a_1 $, 公差是 $ d $, 则其通项公式为 $ a_n = $$a_1+(n-1)d$.
(2) 前n项和公式: $ S_n = $$na_1+\frac{n(n-1)d}{2}$ $ = $$\frac{n(a_1+a_n)}{2}$.

答案： 2.
(1)$a_1+(n-1)d$
(2)$na_1+\frac{n(n-1)d}{2}$ $\frac{n(a_1+a_n)}{2}$

3. 等差数列的性质
(1) 通项公式的推广: $ a_n = a_m + $$(n-m)d$ $ (n, m \in \mathbf{N}^*) $.
(2) 若 $ \{ a_n \} $ 为等差数列, 且 $ k + l = m + n (k, l, m, n \in \mathbf{N}^*) $, 则$a_k+a_1=a_m+a_n$.
(3) 若 $ \{ a_n \} $ 是等差数列, 公差为 $ d $, 则 $ a_k, a_{k + m}, a_{k + 2m}, \cdots (k, m \in \mathbf{N}^*) $ 是公差为$md$的等差数列.
(4) 若 $ S_n $ 为等差数列 $ \{ a_n \} $ 的前n项和, 则数列 $ S_m, S_{2m} - S_m, S_{3m} - S_{2m}, \cdots $ 也是等差数列.
(5) 若 $ S_n $ 为等差数列 $ \{ a_n \} $ 的前n项和, 则数列 $ \left\{ \dfrac{S_n}{n} \right\} $ 也为等差数列.

答案： 3.
(1)$(n-m)d$
(2)$a_k+a_1=a_m+a_n$
(3)$md$

1. 思考辨析 (在括号内打“√”或“×”)
(1) 数列 $ \{ a_n \} $ 为等差数列的充要条件是对任意 $ n \in \mathbf{N}^* $, 都有 $ 2a_{n + 1} = a_n + a_{n + 2} $. (√)
(2) 等差数列 $ \{ a_n \} $ 的单调性是由公差 $ d $ 决定的. (√)
(3) 数列 $ \{ a_n \} $ 为等差数列的充要条件是其通项公式为 $ n $ 的一次函数. (×)
(4) 等差数列的前 $ n $ 项和公式是常数项为0且关于 $ n $ 的二次函数. (×)

答案： 1.
(1)√
(2)√
(3)×
(4)× [
(3)若公差$d=0$,则通项公式不是$n$的一次函数.
(4)若公差$d=0$,则前$n$项和不是$n$的二次函数.]

2. (人教A选修二P15T4改编) 已知等差数列 $ \{ a_n \} $ 中, $ a_4 + a_8 = 20, a_7 = 12 $, 则 $ a_4 = $6.

答案： 2.6 [由题意可得$\begin{cases}a_1+3d+a_1+7d=20,\\a_1+6d=12,\end{cases}$
解得$a_1=0,d=2$,故$a_4=a_1+3d=6.$]

3. (北师大选修二P19练习T2改编) 在等差数列 $ \{ a_n \} $ 中, 已知 $ a_3 + a_{15} = 40 $, 则 $ S_{17} = $340.

答案： 3.340 [$S_{17}=\frac{17}{2}(a_1+a_{17})$
$=\frac{17}{2}(a_3+a_{15})=\frac{17}{2}×40=340.$]

4. (苏教选修一P151T6改编) 设等差数列 $ \{ a_n \} $ 的前 $ n $ 项和为 $ S_n $, 若 $ S_8 = 100, S_{16} = 392 $, 则 $ S_{24} = $876.

答案： 4.876 [法一 由$S_8=8a_1+\frac{8×7}{2}d=100$,
$S_{16}=16a_1+\frac{16×15}{2}d=392$,得$a_1=2,d=3$,
$\therefore S_{24}=24×2+\frac{24×23}{2}×3=876.$
法二 $\because S_8,S_{16}-S_8,S_{24}-S_{16}$成等差数列,
$\therefore2(S_{16}-S_8)=S_8+(S_{24}-S_{16})$,
得$S_{24}=3S_{16}-3S_8=876.$]