《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

(1)(2024·全国甲卷)设向量$\boldsymbol{a}=(x+1,x)$，$\boldsymbol{b}=(x,2)$，则 (C)

A.$x=-3$是$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$的必要条件
B.$x=-3$是$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$的必要条件
C.$x=0$是$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$的充分条件
D.$x=-1+\sqrt{3}$是$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$的充分条件

答案： 训练2
(1)C [
(1)$\vec{a}$⊥$\vec{b}$⇔x² + x + 2x = 0⇔x = 0或x = -3，所以x = -3是$\vec{a}$⊥$\vec{b}$的充分条件，x = 0是$\vec{a}$⊥$\vec{b}$的充分条件，故A错误，C正确.$\vec{a}$//$\vec{b}$⇔2x + 2 = x²⇔x² - 2x - 2 = 0⇔x = 1 ± $\sqrt{3}$，故B，D错误.

(2)(2025·泰安一模)已知非零向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$满足$|\boldsymbol{a}|=\frac{2\sqrt{2}}{3}|\boldsymbol{b}|$，若$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\perp(3\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b})$，则$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为 (C)

A.$\frac{\pi}{4}$
B.$\frac{\pi}{2}$
C.$\frac{3\pi}{4}$
D.$\pi$

答案：
(2)C [
(2)因为($\vec{a}$ + $\vec{b}$)⊥(3$\vec{a}$ - 2$\vec{b}$)，所以($\vec{a}$ + $\vec{b}$).(3$\vec{a}$ - 2$\vec{b}$) = 0，则$\vec{a}$.$\vec{b}$ = 2|$\vec{b}$|² - 3|$\vec{a}$|²，又|$\vec{a}$| = $\frac{2\sqrt{2}}{3}$|$\vec{b}$|，则$\vec{a}$.$\vec{b}$ = 2|$\vec{b}$|² - 3($\frac{2\sqrt{2}}{3}$|$\vec{b}$|)² = -$\frac{2}{3}$|$\vec{b}$|²，所以cos〈$\vec{a}$，$\vec{b}$〉 = $\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert}$ = $\frac{-\frac{2}{3}\vert\vec{b}\vert^2}{\frac{2\sqrt{2}}{3}\vert\vec{b}\vert\cdot\vert\vec{b}\vert}$ = -$\frac{\sqrt{2}}{2}$，又0 ≤ 〈$\vec{a}$，$\vec{b}$〉＜π，所以$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角为$\frac{3\pi}{4}$.

(3)(多选)(2025·长沙模拟)已知向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$满足$|\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}|$，$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+\boldsymbol{a}^2=0$，且$|\boldsymbol{a}|=2$，则 (ABC)

A.$|\boldsymbol{b}|=2$
B.$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\boldsymbol{0}$
C.$|\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}|=6$
D.$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=4$

答案：
(3)ABC [
(3)因为|$\vec{a}$ + 2$\vec{b}$| = |$\vec{a}$|，所以|$\vec{a}$ + 2$\vec{b}$|² = |$\vec{a}$|²，即$\vec{a}$² + 4$\vec{a}$.$\vec{b}$ + 4$\vec{b}$² = $\vec{a}$²，整理可得$\vec{a}$.$\vec{b}$ + $\vec{b}$² = 0，再由$\vec{a}$.$\vec{b}$ + $\vec{a}$² = 0，且|$\vec{a}$| = 2，可得$\vec{a}$² = $\vec{b}$² = 4，所以|$\vec{b}$| = 2，$\vec{a}$.$\vec{b}$ = -4，A正确，D错误；cos〈$\vec{a}$，$\vec{b}$〉 = $\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert}$ = -1，即向量$\vec{a}$，$\vec{b}$的夹角〈$\vec{a}$，$\vec{b}$〉 = π，故向量$\vec{a}$，$\vec{b}$共线且方向相反，所以$\vec{a}$ + 2$\vec{b}$ = 0，B正确；|$\vec{a}$ - 2$\vec{b}$| = $\sqrt{(\vec{a}-2\vec{b})^2}$ = $\sqrt{\vec{a}^2 - 4\vec{a}\cdot\vec{b} + 4\vec{b}^2}$ = $\sqrt{4 + 16 + 16}$ = 6，C正确.]

考点三 平面向量的新定义问题
例4 (2025·北京人大附中统练)定义平面向量的一种运算$\boldsymbol{a}\odot\boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|×|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|×\sin\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$，其中$\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$是$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角，给出下列命题：①若$\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=90^{\circ}$，则$\boldsymbol{a}\odot\boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}^2+\boldsymbol{b}^2$；②若$|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|$，则$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\odot(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=4\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}$；③若$|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|$，则$\boldsymbol{a}\odot\boldsymbol{b}\leqslant2|\boldsymbol{a}|^2$；④若$\boldsymbol{a}=(1,2)$，$\boldsymbol{b}=(-2,2)$，则$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\odot\boldsymbol{b}=\sqrt{10}$.其中真命题的序号是________.

答案： 例4 ①③ [对于①，若〈$\vec{a}$，$\vec{b}$〉 = 90°，则|$\vec{a}$ + $\vec{b}$| = |$\vec{a}$ - $\vec{b}$|，$\vec{a}$.$\vec{b}$ = 0，则$\vec{a}$⊙$\vec{b}$ = |$\vec{a}$ + $\vec{b}$|×|$\vec{a}$ - $\vec{b}$| = $\vec{a}$² + 2$\vec{a}$.$\vec{b}$ + $\vec{b}$² = $\vec{a}$² + $\vec{b}$²，故①正确；
对于②，若|$\vec{a}$| = |$\vec{b}$|，则($\vec{a}$ + $\vec{b}$)⊥($\vec{a}$ - $\vec{b}$)，则($\vec{a}$ + $\vec{b}$)与($\vec{a}$ - $\vec{b}$)的夹角为90°，则($\vec{a}$ + $\vec{b}$)⊙($\vec{a}$ - $\vec{b}$) = (|$\vec{a}$ + $\vec{b}$| + |$\vec{a}$ - $\vec{b}$|)×|($\vec{a}$ + $\vec{b}$) - ($\vec{a}$ - $\vec{b}$)|sin90° = 4|$\vec{a}$||$\vec{b}$|，故②错误；
对于③，若|$\vec{a}$| = |$\vec{b}$|，则$\vec{a}$⊙$\vec{b}$ ≤ |$\vec{a}$ + $\vec{b}$|×|$\vec{a}$ - $\vec{b}$| = $\sqrt{2\vec{a}^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b}}\cdot\sqrt{2\vec{a}^2 - 2\vec{a}\cdot\vec{b}}$ = $\sqrt{4\vec{a}^2 - 4(\vec{a}\cdot\vec{b})^2}$ ≤ 2|$\vec{a}$|²，故③正确；
对于④，若$\vec{a}$ = (1,2)，$\vec{b}$ = (-2,2)，则$\vec{a}$ + $\vec{b}$ = (-1,4)，$\vec{a}$ + 2$\vec{b}$ = (-3,6)，则cos〈$\vec{a}$ + $\vec{b}$，$\vec{b}$〉 = $\frac{10}{2\sqrt{2}×\sqrt{17}}$ = $\frac{5}{\sqrt{34}}$，sin〈$\vec{a}$ + $\vec{b}$，$\vec{b}$〉 = $\frac{3}{\sqrt{34}}$，则($\vec{a}$ + $\vec{b}$)⊙$\vec{b}$ = |$\vec{a}$ + $\vec{b}$|×|$\vec{b}$|×sin〈$\vec{a}$ + $\vec{b}$，$\vec{b}$〉 = $\sqrt{17}$×$2\sqrt{2}$×$\frac{3}{\sqrt{34}}$ = $\frac{45}{\sqrt{34}}$ ≠ $\sqrt{10}$，故④错误.]

(2025·苏州调研)假设二维空间中有两个点$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，$O$为坐标原点，余弦相似度为向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$夹角的余弦值，记作$\cos(A,B)$，余弦距离为$1-\cos(A,B)$.已知$P(\cos\alpha,\sin\alpha)$，$Q(\cos\beta,\sin\beta)$，$R(\cos\alpha,-\sin\alpha)$，若$P$，$Q$的余弦距离为$\frac{1}{3}$，$\tan\alpha\cdot\tan\beta=\frac{1}{7}$，则$Q$，$R$的余弦距离为 (A)

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{7}$

答案： 训练3 A [由题意得$\overrightarrow{OP}$ = (cosα，sinα)，$\overrightarrow{OQ}$ = (cosβ，sinβ)，$\overrightarrow{OR}$ = (cosα，-sinα)，则cos〈$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{OQ}$〉 = $\frac{\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}}{\vert\overrightarrow{OP}\vert\vert\overrightarrow{OQ}\vert}$ = cosαcosβ + sinαsinβ = $\frac{2}{3}$，又tanαtanβ = $\frac{\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}$ = $\frac{1}{7}$，
∴cosαcosβ = 7sinαsinβ，
∴sinαsinβ = $\frac{1}{12}$，cosαcosβ = $\frac{7}{12}$，则1 - cos〈$\overrightarrow{OQ}$，$\overrightarrow{OR}$〉 = 1 - (cosαcosβ - sinαsinβ) = 1 - ($\frac{7}{12}$ - $\frac{1}{12}$) = $\frac{1}{2}$