《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

1. 基本不等式：$\sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2}$
(1)基本不等式成立的条件：$a ＞ 0$，$b ＞ 0$。
(2)等号成立的条件：当且仅当a=b时取等号。
(3)其中\frac{a + b}{2}叫做正数$a$，$b$的算术平均数，\sqrt{ab}叫做正数$a$，$b$的几何平均数。

答案： $1.(2)a=b (3)\frac{a + b}{2}\sqrt{ab}$

2. 两个重要的不等式
(1)$a^2 + b^2 \geq$2ab($a$，$b \in \mathbf{R}$)，当且仅当$a = b$时取等号。
(2)$ab \leq (\frac{a + b}{2})^2$($a$，$b \in \mathbf{R}$)，当且仅当$a = b$时取等号。

答案： 2.
(1)2ab

3. 利用基本不等式求最值
(1)已知$x$，$y$都是正数，如果积$xy$等于定值$P$，那么当$x = y$时，和$x + y$有最小值2\sqrt{P}。
(2)已知$x$，$y$都是正数，如果和$x + y$等于定值$S$，那么当$x = y$时，积$xy$有最大值\frac{1}{4}S^{2}。

答案： $3.(1)2\sqrt{P} (2)\frac{1}{4}S^{2}$

概念思考辨析 + 教材经典改编
1. 思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)不等式$ab \leq (\frac{a + b}{2})^2$与$\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$成立的条件是相同的。(×)
(2)函数$y = x + \frac{1}{x}$的最小值是2。(×)
(3)函数$y = \sin x + \frac{4}{\sin x}$，$x \in (0, \frac{\pi}{2})$的最小值是4。(×)
(4)“$x ＞ 0$且$y ＞ 0$”是“$\frac{y}{x} + \frac{x}{y} \geq 2$”的充要条件。(×)

答案： 1.
(1)×
(2)×
(3)×
(4)×[
(1)不等式$ab≤(\frac{a + b}{2})^{2}$成立的条件是a，$b∈R,\frac{a + b}{2}≥\sqrt{ab}$成立的条件是a≥0,b≥0.
(2)由于$x∈(-∞,0)∪(0,+\infty)，$故函数$y=x+\frac{1}{x}$无最小值.
(3)由于$\sin x=\frac{4}{\sin x}$时$\sin x=2$无解，故$\sin x+\frac{4}{\sin x}$的最小值不为$4.(4)\frac{y}{x}+\frac{x}{y}≥2$的充要条件是“xy＞0”.]

2. (苏教必修一 P58 例 2 改编)已知$x ＞ 1$，则$x + \frac{1}{x - 1}$的最小值为3。

答案： $2.3 [x+\frac{1}{x - 1}=x - 1+\frac{1}{x - 1}+1≥2\sqrt{(x - 1)\cdot\frac{1}{x - 1}}+1=3，$当且仅当$x - 1=\frac{1}{x - 1}，$即x=2时等号成立.]

3. (人教 A 必修一 P58T5 改编)若$a ＞ 0$，$b ＞ 0$，且$ab = a + b + 3$，则$ab$的最小值为9。

答案： 3.9 [由$ab=a + b + 3≥2\sqrt{ab}+3，$得$ab - 2\sqrt{ab}-3≥0，$解得$\sqrt{ab}≥3(\sqrt{ab}≤ - 1$舍去)，即ab≥9.当且仅当a=b=3时取等号.]

4. (北师大必修一 P28 实例分析)把一段长为16 cm的细铁丝弯成一个矩形，当矩形的长为4cm，宽为4cm时，面积最大。

答案： 4.4 [设矩形的长为x cm，宽为y cm，则x + y=8，其面积$S=xy≤(\frac{x + y}{2})^{2}=16，$当且仅当x=y=4时等号成立.]

考点一 利用基本不等式求最值
角度1 配凑法
例1 (1)已知$a$，$b$为正数，$4a^2 + b^2 = 7$，则$a\sqrt{1 + b^2}$的最大值为(D)

A.$\sqrt{7}$
B.$\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{2}$
D.2

答案：
(1)D [因为$4a^{2}+b^{2}=7，$则$a\sqrt{1 + b^{2}}=\frac{1}{2}×2a×\sqrt{1 + b^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{4a^{2}(1 + b^{2})}\leq\frac{1}{2}×\frac{4a^{2}+1 + b^{2}}{2}=2，$当且仅当$4a^{2}=1 + b^{2}，$且$4a^{2}+b^{2}=7，$即$a=1,b=\sqrt{3}$时，等号成立.]

(2)若$a ＞ -1$，则$\frac{a^2}{a + 1}$的最小值是0。

答案：
(2)0 [法一 由a＞-1可得a + 1＞0，则$\frac{a^{2}}{a + 1}=\frac{a^{2}-1 + 1}{a + 1}=a - 1+\frac{1}{a + 1}=a + 1+\frac{1}{a + 1}-2≥2\sqrt{(a + 1)\cdot\frac{1}{a + 1}}-2=0，$当且仅当$a + 1=\frac{1}{a + 1}，$即a=0时等号成立.法二 由a＞-1可得$a + 1＞0,a^{2}≥0，$则$\frac{a^{2}}{a + 1}≥0，$当a=0时取等号.]