《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

1. 对数的概念
如果 $ a^x = N (a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1) $，那么数 $ x $ 叫做以 $ a $ 为底 $ N $ 的对数，记作 $ x = $$\log_{a}N$，其中 $ a $ 叫做对数的底数，$ N $ 叫做真数。

答案： 1.$\log_{a}N$

2. 对数的性质、运算性质与换底公式
(1) 对数的性质
① $ a^{\log_a N} = $$\mathrm{N}$；② $ \log_a a^b = b (a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1) $。
(2) 对数的运算性质
如果 $ a ＞ 0 $ 且 $ a \neq 1 $，$ M ＞ 0 $，$ N ＞ 0 $，那么
① $ \log_a (MN) = $$\log_{a}M + \log_{a}N$；
② $ \log_a \frac{M}{N} = $$\log_{a}M - \log_{a}N$；
③ $ \log_a M^n = $$n\log_{a}M$ $ (n \in \mathbf{R}) $。
(3) 换底公式：$ \log_a b = $$\frac{\log_{b}b}{\log_{b}a}$ $ (a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 $，$ b ＞ 0 $，$ c ＞ 0 $，且 $ c \neq 1) $。

答案： 2.
(1)①$\mathrm{N}$
(2)①$\log_{a}M + \log_{a}N$ ②$\log_{a}M - \log_{a}N$ ③$n\log_{a}M$
(3)$\frac{\log_{b}b}{\log_{b}a}$

3. 对数函数及其性质
(1) 概念：函数 $ y = \log_a x (a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1) $ 叫做对数函数，其中 $ x $ 是自变量，定义域是 $ (0, +\infty) $。
(2) 对数函数的图象与性质

答案： 3.
(2)$(0, +\infty)$ R (1,0) 增函数 减函数

4. 反函数
指数函数 $ y = a^x (a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1) $ 与对数函数$y = \log_{a}x$ $ (a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1) $ 互为反函数，它们的图象关于直线$y = x$对称。它们的定义域和值域正好互换。

答案： 4.$y = \log_{a}x$ $y = x$

1. 思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1) 函数 $ y = \log_2 (x + 1) $ 是对数函数。(×)
(2) 函数 $ y = \ln \frac{1 + x}{1 - x} $ 与 $ y = \ln (1 + x) - \ln (1 - x) $ 的定义域相同。(√)
(3) 当 $ x ＞ 1 $ 时，若 $ \log_a x ＞ \log_b x $，则 $ a ＜ b $。(×)
(4) 函数 $ y = \log_2 x $ 与 $ y = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} $ 的图象重合。(√)

答案： 1.
(1)×　
(2)√　
(3)×　
(4)√　[
(1)形如$y = \log_{a}x(a ＞ 0$，且$a \neq 1)$为对数函数，故
(1)错误.
(3)若$0 ＜ b ＜ 1 ＜ a$，则当$x ＞ 1$时，$\log_{b}x ＜ \log_{a}x$，故
(3)错误.]

2. (北师大必修一 P105 例 4(1) 改编)计算：$ \log_4 \frac{25}{9} + \log_2 3 - \log_{0.5} \frac{1}{5} = $0。

答案： 2.0 [原式$=\log_{4}\frac{25}{9} + \log_{4}9 - \log_{4}25$
$=\log_{4}(\frac{25}{9} × 9 ÷ 25) = \log_{4}1 = 0.$]

3. (人教 B 必修二 P27 例 2 改编)已知 $ \log_{0.7} (2m) ＜ \log_{0.7} (m - 1) $，则 $ m $ 的取值范围是(1, +∞)。

答案： 3.$(1, +\infty)$ [因为$y = \log_{0.7}x$的定义域为$(0, +\infty)$，且是减函数，故$2m ＞ m - 1 ＞ 0$，解得$m ＞ 1$.]

4. (人教 A 必修一 P141T13(1) 改编)设 $ a = \log_{0.2} 6 $，$ b = \log_{0.3} 6 $，$ c = \log_{0.4} 6 $，则 $ a $，$ b $，$ c $ 的大小关系为$a ＞ b ＞ c$。

答案：
4.$a ＞ b ＞ c$ [法一 如图，作出函数$y_{1} = \log_{0.2}x$，$y_{2} = \log_{0.3}x$，$y_{3} = \log_{0.4}x$的图象.
由图可知，当$x = 6$时，$\log_{0.2}6 ＞ \log_{0.3}6 ＞ \log_{0.4}6$，即$a ＞ b ＞ c$.

法二 易知$0 ＞ \log_{0.4}0.4 ＞ \log_{0.3}0.3 ＞ \log_{0.2}0.2$，
所以$\frac{1}{\log_{0.4}0.4} ＜ \frac{1}{\log_{0.3}0.3} ＜ \frac{1}{\log_{0.2}0.2}$，
即$\log_{0.4}0.4^{-1} ＜ \log_{0.3}0.3^{-1} ＜ \log_{0.2}0.2^{-1}$，即$a ＞ b ＞ c$.]