《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

考点三 函数单调性的应用
角度 1 由单调性求参数
例 3 (多选)(2025·茂名模拟)若 $ f(x) = -\dfrac{1}{3}x^3 + \dfrac{1}{2}x^2 + 2x + 1 $ 是区间 $ (m - 1, m + 4) $ 上的单调函数,则实数 $ m $ 的值可以是 (CD)

A.$-4$
B.$-3$
C.$3$
D.$4$

答案： 例3 CD [由题意$,f^{\prime}(x)=-x^{2}+x + 2$
=-(x - 2)(x + 1),
令$f^{\prime}(x)＞0,$解得-1＜x＜2,
令$f^{\prime}(x)$＜0,解得x＜-1或x＞2,
所以f(x)在(-1,2)上单调递增,
在$(-\infty,-1),(2,+\infty)$上单调递减.
若$f(x)=-\frac{1}{3}x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}+2x + 1$是区间
(m - 1,m + 4)上的单调函数,
则$m + 4\leq - 1$或$m - 1\geq2$或$\begin{cases}m - 1\geq - 1,\\m + 4\leq2,\end{cases}$
解得$m\leq - 5$或$m\geq3.]$

角度 2 比较大小
例 4 已知函数 $ f(x) = x\sin x $, $ x \in \mathbf{R} $,则 $ f\left( \dfrac{\pi}{5} \right) $, $ f(1) $, $ f\left( -\dfrac{\pi}{3} \right) $ 的大小关系为 ________.

答案： 例$4 f(\frac{\pi}{5})＜f(1)＜f(-\frac{\pi}{3})$
[由题意易得f(x)是偶函数,
所以$f(-\frac{\pi}{3})=f(\frac{\pi}{3}).$
又当$x\in(0,\frac{\pi}{2})$时$,f^{\prime}(x)=\sin x + x\cos x＞0,$
所以f(x)在$(0,\frac{\pi}{2})$上单调递增,
所以$f(\frac{\pi}{5})＜f(1)＜f(\frac{\pi}{3}),$
即$f(\frac{\pi}{5})＜f(1)＜f(-\frac{\pi}{3}).]$

角度 3 解不等式
例 5 (2025·西安模拟)已知函数 $ f(x) = (e^x + e^{-x})x^2 $,若满足 $ f(\log_3 m) - e - \dfrac{1}{e} ＜ 0 $,则实数 $ m $ 的取值范围为 (B)

A.$ \left( 0, \dfrac{1}{3} \right) $
B.$ \left( \dfrac{1}{3}, 3 \right) $
C.$ (0, 3) $
$D. (3, +\infty)$

答案： 例5 B [f(x)的定义域为$\mathbf{R},$
$f(-x)=(e^{-x}+e^{x})(-x)^{2}=f(x),$
$\therefore f(x)$为偶函数.
$\because f^{\prime}(x)=(e^{x}-e^{-x})x^{2}+2x(e^{x}+e^{-x}),$
$f^{\prime}(0)=0,$
当x＞0时$,e^{x}＞1,0$＜e^{-x}＜1,
\therefore e^{x}-e^{-x}＞0,
$\therefore f^{\prime}(x)＞0,\therefore f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增.
$\because f(\log_{3}m)-e^{-\frac{1}{e}}＜0,$
即$f(\log_{3}m)＜e^{-\frac{1}{e}}=f(1),$
即$f(\log_{3}m)＜f(1).$
$\because f(x)=(e^{x}+e^{-x})x^{2}$在$(0,+\infty)$上单调递
增且为偶函数,
$\therefore f(x)$在$(-\infty,0)$上单调递减,
$\therefore$|$\log_{3}m$|＜1,即-1＜\log_{3}m＜1,
解得$\frac{1}{3}＜m＜3,$
$\therefore$实数m的取值范围为$(\frac{1}{3},3).]$

(1)(2025·长沙模拟)若函数 $ f(x) = e^{x - a + 1} - x $ 在区间 $ (0, +\infty) $ 上单调递增,则实数 $ a $ 的取值范围为 (D)

A.$ (-\infty, -1] $
B.$ (-\infty, 1) $
C.$ [0, +\infty) $
D.$ (-\infty, 1] $

答案：
(1)D [
(1)由$f(x)=e^{x - a + 1}-x,$
得$f^{\prime}(x)=e^{x - a + 1}-1.$
因为函数$f(x)=e^{x - a + 1}-x$在区间$(0,+\infty)$
上单调递增,
所以$f^{\prime}(x)=e^{x - a + 1}-1\geq0$在区间$(0,+\infty)$上
恒成立,且$f^{\prime}(x)$不恒为0,所以$x - a + 1\geq0$
在区间$(0,+\infty)$上恒成立,即$a\leq x + 1$在区间
$(0,+\infty)$上恒成立,所以$a\leq1.]$

(2)已知函数 $ f(x) = \ln x - \dfrac{x}{e^x} $,设 $ a = f\left( \dfrac{3}{2} \right) $, $ b = f(2) $, $ c = f\left( \dfrac{7}{3} \right) $,则 (C)

A.$ a ＞ b ＞ c $
B.$ b ＞ a ＞ c $
C.$ c ＞ b ＞ a $
D.$ c ＞ a ＞ b $

答案：
(2)C [
(2)易知$f^{\prime}(x)=\frac{e^{x}+x^{2}-x}{xe^{x}}$
$=e^{x}+(x-\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{4}\frac{1}{xe^{x}}$
又$x\in(0,+\infty)$时$,e^{x}＞1,(x-\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{4}\geq$
$-\frac{1}{4},$所以$f^{\prime}(x)＞0,$
即f(x)在$(0,+\infty)$上单调递增,
故$f(\frac{7}{3})＞f(2)＞f(\frac{3}{2}),$即c＞b＞a.]

(3)不等式 $ x ＜ \sin \dfrac{\pi x}{4} + \dfrac{1}{6} $ 的解集为 ________.

答案： $(3)(-\infty,\frac{2}{3})$
[
(3)设$f(x)=x-\sin\frac{\pi x}{4}-\frac{1}{6},$
则$f^{\prime}(x)=1-\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi x}{4}＞0,$
$\therefore f(x)$在$\mathbf{R}$上单调递增,又$f(\frac{2}{3})=0,$
$\therefore f(x)＜0$的解集为\{x|x＜\frac{2}{3}\},
故x＜\sin\frac{\pi x}{4}+\frac{1}{6}的解集为$(-\infty,\frac{2}{3}).]$