《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

考点一 函数的对称性
例 1 (2023·全国乙卷节选) 已知函数 $ f(x) = (\frac{1}{x} + a) \cdot \ln(1 + x) $，是否存在存在$ a, b $，使得曲线 $ y = f(\frac{1}{x}) $ 关于直线 $ x = b $ 对称？若存在，求 $ a, b $ 的值；若不存在，说明理由。

答案： 例1 解 假设存在a,b,使得曲线$y=f(\frac{1}{x})$关于直线x=b对称.令$g(x)=f(\frac{1}{x})=(x+a)\ln(1+\frac{1}{x})=(x+a)\ln\frac{x+1}{x}$因为曲线y=g(x)关于直线x=b对称，所以g(x)=g(2b-x),即$(x+a)\ln\frac{x+1}{x}=(2b-x+a)\ln\frac{2b-x+1}{2b-x}=(x-2b-a)\ln\frac{x-2b}{x-2b-1},$于是$\begin{cases}a=-2b-a\\1=-2b,\end{cases}$得$\begin{cases}a=\frac{1}{2}\\b=-\frac{1}{2}.\end{cases}$当$a=\frac{1}{2},b=-\frac{1}{2}$时，$g(x)=(x+\frac{1}{2})\ln(1+\frac{1}{x}),g(-1-x)=(-x-\frac{1}{2})\ln\frac{-x}{-1-x}=(-x-\frac{1}{2})\ln\frac{x}{1+x}=(x+\frac{1}{2})\ln\frac{x+1}{x}=(x+\frac{1}{2})\ln(1+\frac{1}{x})=g(x),$所以曲线y=g(x)关于直线$x=-\frac{1}{2}$对称，满足题意.故存在a,b,使得曲线$y=f(\frac{1}{x})$关于直线x=b对称，且$a=\frac{1}{2},b=-\frac{1}{2}.$

(2024·新高考 I 卷节选) 已知函数 $ f(x) = \ln \frac{x}{2 - x} + ax + b(x - 1)^3 $。
证明：曲线 $ y = f(x) $ 是中心对称图形。证明 法一 f(2-x)=\ln\frac{2-x}{x}+a(2-x)+b(1-x)^3=-\ln\frac{x}{2-x}-ax-b(x-1)^3+2a=-f(x)+2a,故曲线y=f(x)关于点(1,a)中心对称.法二 ∵f(x)=\ln\frac{x}{2-x}+ax+b(x-1)^3,x∈(0,2),∴f(x+1)=\ln\frac{1+x}{1-x}+ax+a+bx^3,x∈(-1,1).令g(x)=f(x+1)-a=\ln\frac{1+x}{1-x}+ax+bx^3,x∈(-1,1),则g(-x)=\ln\frac{1-x}{1+x}-ax-bx^3=-\ln\frac{1+x}{1-x}-ax-bx^3=-g(x),∴g(x)是定义域为(-1,1)的奇函数，其图象关于坐标原点O对称.又∵f(x)的图象可由g(x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移a个单位长度得到，∴曲线y=f(x)是中心对称图形.

答案： 训练1 证明 法一$ f(2-x)=\ln\frac{2-x}{\frac{x}{2-x}}+a(2-x)+b(1-x)^3=-\ln\frac{x}{2-x}-ax-b(x-1)^3+2a=-f(x)+2a,$故曲线y=f(x)关于点(1,a)中心对称.法二
∵$f(x)=\ln\frac{x}{2-x}+ax+b(x-1)^3,x∈(0,2),$
∴$f(x+1)=\ln\frac{1+x}{1-x}+ax+a+bx^3,x∈(-1,1).$令$g(x)=f(x+1)-a=\ln\frac{1+x}{1-x}+ax+bx^3,x∈(-1,1),$则$g(-x)=\ln\frac{1-x}{1+x}-ax-bx^3=-\ln\frac{1+x}{1-x}ax-bx^3=-g(x),$
∴g(x)是定义域为(-1,1)的奇函数，其图象关于坐标原点O对称.又
∵f(x)的图象可由g(x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移a个单位长度得到，
∴曲线y=f(x)是中心对称图形.

考点二 对称性与周期性
例 2 (1) (2025·海口调研) 已知函数 $ f(x) $ 的定义域为 $ \mathbf{R} $，$ f(x + \frac{1}{2}) $ 为偶函数，$ f(2 - x) + f(x) = 0 $，$ f(\frac{1}{3}) = -\frac{1}{2} $，则 $ f(\frac{16}{3}) = $( )

A.$ \frac{1}{2} $
B.$ \frac{1}{3} $
C.$ 0 $
D.$ -\frac{1}{2} $

答案： 例2
(1)A
(1)因为$f(x+\frac{1}{2})$为偶函数，所以$f(-x+\frac{1}{2})=f(x+\frac{1}{2}),$因为f(2-x)+f(x)=0,所以f(x-1)+f(x)=0,即f(x)=-f(x-1),所以f(x)=f(x-2),故函数f(x)的一个周期为2,故$f(\frac{16}{3})=f(-\frac{2}{3}+6)=f(-\frac{2}{3}).$由f(x-1)+f(x)=0,令$x=\frac{1}{3}$得$,f(-\frac{2}{3})+f(\frac{1}{3})=0,$因为$f(\frac{1}{3})=-\frac{1}{2},$所以$f(-\frac{2}{3})=\frac{1}{2}$故$f(\frac{16}{3})=f(-\frac{2}{3})=\frac{1}{2}.$

(2) (多选) (2025·安徽名校联考) 已知函数 $ f(x), g(x) $ 的定义域均为 $ \mathbf{R} $，其中 $ f(x) $ 的图象关于点 $ (1, 1) $ 中心对称，$ g(x) $ 的图象关于直线 $ x = 2 $ 对称，$ f(x) - g(2 + x) = 4 $，$ g(2) = 3 $，则(BD)

A.$ f(-x) + f(x) = 0 $
B.$ f(2026) = -5 $
C.$ g(2026) = -1 $
D.$ \sum_{k = 1}^{2026} f(k) = 2020$

答案：
(2)BD [
(2)由题意知f(x)-4=g(2+x),
g(2+x)=g(2-x),
所以f(x)-4=f(-x)-4,
所以f(x)=f(-x),所以A错误；
由f
(0)=4+g
(2)=7,因为f(x)的图象关于点(1,1)中心对称，
所以f
(1)=1,f(x+2)+f(-x)=2,
所以f(x+4)+f(-x-2)=2,
又因为f(x+2)=f(-x-2),
所以f(x+4)=f(-x)=f(x),
所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，
所以f
(2026)=f
(2)=2-f
(0)=2-7=-5,
所以B正确；
由g
(2026)=f
(2024)-4=f
(0)-4=3,
所以C错误；
因为f
(1)=1,f
(2)=2-f
(0)=2-7=-5,
f
(3)=f(-1)=f
(1)=1,f
(4)=f
(0)=7,
所以f
(1)+f
(2)+f
(3)+f
(4)=4,
所以$\sum_{k=1}^{2026}f(k)=506×4+f(1)+f(2)=2020+1-5=2020,$
所以D正确.]

(1) (2024·武汉二模) 已知函数 $ f(x) $ 的定义域为 $ \mathbf{R} $，$ f(x) = g(x - 1) + 2 $，若函数 $ g(x) $ 为奇函数，$ g(x + 1) $ 为偶函数，且 $ f(2) = 1 $，则 $ \sum_{k = 1}^{23} g(k) = $(B)

A.$ -1 $
B.$ 0 $
C.$ 1 $
D.$ 2 $

答案： 训练2
(1)B [
(1)因为函数g(x)为奇函数，定义域为R,所以g(-x)=-g(x),g
(0)=0.又因为g(x+1)为偶函数，所以g(x+1)=g(-x+1),g
(2)=g
(0)=0,于是有g(x+2)=g(-x)=-g(x)⇒g(x+4)=g(x),所以函数g(x)的周期为4,因为g(x)=f(x+1)-2,f
(2)=1,所以g
(1)=f(1+1)-2=-1,g
(3)=g(-1)=-g
(1)=1,g
(4)=g
(0)=0,所以g
(1)+g
(2)+g
(3)+g
(4)=0,于是$\sum_{k=1}^{23}g(k)=5×[g(1)+g(2)+g(3)+g(4)]+g(1)+g(2)+g(3)=0-1+0+1=0,$故选B.]

(2) (多选) (2025·保定质检) 已知 $ f(x + 1) $ 是奇函数，$ f(x) $ 的图象关于直线 $ x = -1 $ 对称，则下列结论正确的是(BCD)

A.$ f(x) $ 是周期为 $ 4 $ 的周期函数
B.$ f(x - 5) $ 为偶函数
C.$ f(x) $ 的图象关于点 $ (-3, 0) $ 对称
D.$ f(5) = 0 $

答案： 训练2
(2)BCD [
(2)对于A,法一 由题知f(x+1)为奇函数，所以f(x)的图象关于点(1,0)对称，则f(-x)+f(2+x)=0,因为f(x)的图象关于直线x=-1对称，所以f(-x)=f(-2+x),将②代入①可得f(-2+x)+f(2+x)=0,将x换为2+x代入③式有f(x+4)+f(x+8)=0,所以f(x)是周期为8的周期函数.法二 由f(x)的图象关于点(1,0)对称，且关于直线x=-1对称，则f(x)的周期T=4|-1-1|=8,故选项A错误；对于B,因为f(x)的图象关于直线x=-1对称且周期为8,所以f(-x-5)=f(3+x)=f(x-5),所以f(x-5)为偶函数，故选项B正确；对于C,由f(-x+1)=-f(x+1)及f(x)的周期为8，可知f(-x-3)=-f(x+5)=-f(x-3),所以f(x)的图象关于点(-3,0)对称，故选项C正确；对于D,因为f(x+1)+f(-x+1)=0,取x=0可得f
(1)=0,所以f
(5)=f(-3)=f
(1)=0,故选项D正确.]